Номер 6.88, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.4. Сложение и вычитание многочленов. Глава 6. Многочлены - номер 6.88, страница 161.

Условие.

6.88 a) Докажите, что сумма двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 11.

б) Докажите, что разность двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Пусть двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Тогда это число можно записать в виде $10a + b$. Поскольку число является двузначным, цифра $a$ не может быть нулем ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$, $b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь $b$ десятков и $a$ единиц. Его значение равно $10b + a$.

Найдем сумму этих двух чисел:

$S = (10a + b) + (10b + a)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$S = 10a + a + 10b + b = 11a + 11b$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$S = 11(a + b)$

Поскольку $a$ и $b$ являются цифрами, их сумма $(a + b)$ — это целое число. Таким образом, сумма $S$ всегда является произведением числа 11 на целое число, а значит, она всегда делится на 11. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равна $11(a+b)$ и поэтому всегда делится на 11.

б) Используем те же обозначения, что и в предыдущем пункте. Первое число — $10a + b$, второе (перевернутое) — $10b + a$.

Найдем разность этих чисел. Для определённости предположим, что первое число больше или равно второму (это соответствует условию $a \ge b$).

$D = (10a + b) - (10b + a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$D = 10a + b - 10b - a = (10a - a) + (b - 10b) = 9a - 9b$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$D = 9(a - b)$

Поскольку $a$ и $b$ — цифры, их разность $(a - b)$ является целым числом. Следовательно, разность $D$ всегда является произведением числа 9 на целое число, а значит, она всегда делится на 9. Если бы второе число было больше первого ($b > a$), разность была бы $9(b-a)$, что также делится на 9. Что и требовалось доказать.

Ответ: Разность двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, но в обратном порядке, равна $9|a-b|$ и поэтому всегда делится на 9.