Номер 6.86, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.4. Сложение и вычитание многочленов. Глава 6. Многочлены - номер 6.86, страница 161.

Условие.

6.86 ДОКАЗЫВАЕМ

Докажите, что если $a + b + c = 0$, то $abc - (a + b - c) - (b + c - a) - (c + a - b) = abc$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства данного тождества воспользуемся предоставленным условием $a + b + c = 0$. Наша задача — преобразовать левую часть равенства и показать, что она равна правой части.

Левая часть равенства: $abc - (a+b-c) - (b+c-a) - (c+a-b)$.

Из условия $a+b+c=0$ мы можем выразить сумму любых двух переменных через третью:

• $a+b = -c$
• $b+c = -a$
• $c+a = -b$

Теперь подставим эти выражения в соответствующие скобки в левой части доказываемого равенства:

$abc - ( (a+b) - c) - ( (b+c) - a) - ( (c+a) - b) = abc - (-c - c) - (-a - a) - (-b - b)$

Упростим выражения внутри скобок:

$abc - (-2c) - (-2a) - (-2b)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$abc + 2c + 2a + 2b$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель 2 за скобку:

$abc + 2(a+b+c)$

Теперь снова используем исходное условие $a+b+c=0$ и подставляем это значение в полученное выражение:

$abc + 2 \cdot (0) = abc + 0 = abc$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили $abc$, что в точности равно правой части равенства. Это доказывает истинность исходного утверждения.

Ответ: Тождество $abc - (a+b-c) - (b+c-a) - (c+a-b) = abc$ при условии $a+b+c=0$ доказано.