Страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.89 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ 1) Маша и её брат вкладывали в банк деньги, получаемые ими в подарок от родственников на Новый год. Они имеют на счетах следующие суммы:

Маша: $300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$;

брат: $500x^2 + 600x + 700$.

1) «Расшифруйте» каждый многочлен.
Подсказка. Посмотрите задачу 6.62.

2) Сколько денег у них вместе на банковских счетах?

3) Сколько процентов в год начисляет банк, если $x = 1,12$? На чьём счёте в этом случае денег больше и на сколько? (Воспользуйтесь калькулятором.)

1) «Расшифруйте» каждый многочлен.

В таких задачах переменная $x$ обычно обозначает коэффициент годового роста суммы вклада, то есть $x = 1 + r$, где $r$ — годовая процентная ставка, выраженная в виде десятичной дроби. Степень переменной $x$ показывает, сколько лет на соответствующую сумму начислялись проценты. Коэффициенты при степенях $x$ — это суммы первоначальных вкладов, сделанных в разные годы.

Исходя из этого, расшифруем многочлен для счёта Маши: $300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$.
Это можно интерпретировать следующим образом:

• 300 денежных единиц были внесены 3 года назад (и на них 3 раза начислялись проценты).
• 500 денежных единиц были внесены 2 года назад.
• 200 денежных единиц были внесены 1 год назад.
• 700 денежных единиц были внесены в этом году (на них проценты еще не начислялись).

Аналогично расшифруем многочлен для счёта брата: $500x^2 + 600x + 700$.
Это означает:

• 500 денежных единиц были внесены 2 года назад.
• 600 денежных единиц были внесены 1 год назад.
• 700 денежных единиц были внесены в этом году.

Ответ: Многочлены представляют общую сумму на счетах с учётом начисленных процентов. Коэффициенты многочленов — это суммы вкладов, а степени переменной $x$ — это количество лет, в течение которых на эти вклады начислялись проценты.

2) Сколько денег у них вместе на банковских счетах?

Чтобы найти общую сумму на счетах, необходимо сложить многочлены Маши и её брата.

Сумма на счёте Маши: $M(x) = 300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$
Сумма на счёте брата: $B(x) = 500x^2 + 600x + 700$

Общая сумма $T(x) = M(x) + B(x) = (300x^3 + 500x^2 + 200x + 700) + (500x^2 + 600x + 700)$.

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$T(x) = 300x^3 + (500x^2 + 500x^2) + (200x + 600x) + (700 + 700)$

$T(x) = 300x^3 + 1000x^2 + 800x + 1400$

Ответ: Вместе на банковских счетах у них сумма, которая выражается многочленом $300x^3 + 1000x^2 + 800x + 1400$.

3) Сколько процентов в год начисляет банк, если x = 1,12? На чьём счёте в этом случае денег больше и на сколько? (Воспользуйтесь калькулятором.)

Сначала определим годовую процентную ставку. Как мы установили в пункте 1, $x = 1 + r$, где $r$ — годовая процентная ставка.

Подставим значение $x = 1,12$:
$1,12 = 1 + r$
$r = 1,12 - 1 = 0,12$

Чтобы перевести ставку в проценты, умножим значение $r$ на 100: $0,12 \times 100\% = 12\%$.

Теперь рассчитаем сумму на каждом счёте, подставив $x = 1,12$ в соответствующие формулы.

Сумма на счёте Маши:
$M(1,12) = 300 \cdot (1,12)^3 + 500 \cdot (1,12)^2 + 200 \cdot (1,12) + 700$
$M(1,12) = 300 \cdot 1,404928 + 500 \cdot 1,2544 + 224 + 700$
$M(1,12) = 421,4784 + 627,2 + 224 + 700 = 1972,6784$

Сумма на счёте брата:
$B(1,12) = 500 \cdot (1,12)^2 + 600 \cdot (1,12) + 700$
$B(1,12) = 500 \cdot 1,2544 + 672 + 700$
$B(1,12) = 627,2 + 672 + 700 = 1999,2$

Сравним полученные суммы: $1999,2 > 1972,6784$. Следовательно, на счёте брата денег больше.

Найдём разницу между суммами на счетах:
$1999,2 - 1972,6784 = 26,5216$

Ответ: Банк начисляет 12% в год. На счёте брата денег больше на 26,5216 денежных единиц.

Какой закон алгебры лежит в основе правила умножения одночлена на многочлен? Запишите его с помощью букв.

В основе правила умножения одночлена на многочлен лежит распределительный закон умножения относительно сложения (или дистрибутивный закон). Этот закон является одним из фундаментальных свойств арифметических и алгебраических операций.

Суть закона заключается в том, что для того, чтобы умножить некоторое число (в данном случае одночлен) на сумму или разность других чисел (многочлен), можно умножить этот одночлен на каждый член многочлена по отдельности, а затем сложить (или вычесть) полученные результаты.

С помощью букв этот закон записывается следующим образом:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Если в многочлене больше членов, закон применяется аналогично:

$a \cdot (b + c + d + \dots) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d + \dots$

Где $a$ представляет собой одночлен, а выражение в скобках $(b + c)$ или $(b + c + d + \dots)$ — многочлен.

Например, чтобы умножить одночлен $5x$ на многочлен $(2y - 3z)$, мы применяем распределительный закон:

$5x \cdot (2y - 3z) = (5x \cdot 2y) - (5x \cdot 3z) = 10xy - 15xz$

Ответ: В основе правила лежит распределительный закон умножения. Его запись с помощью букв: $a(b + c) = ab + ac$.

Выполните умножение одночлена на многочлен и прокомментируйте свои шаги:

$-5a(b + 2c - 4)$

Чтобы выполнить умножение одночлена на многочлен, необходимо применить распределительное свойство умножения. Согласно этому свойству, нужно умножить одночлен (в данном случае $-5a$) на каждый член многочлена (в данном случае $b$, $2c$ и $-4$) и сложить полученные результаты.

Исходное выражение: $-5a(b + 2c - 4)$.

Шаг 1: Умножаем одночлен $-5a$ на первый член многочлена $b$.
$(-5a) \cdot b = -5ab$

Шаг 2: Умножаем одночлен $-5a$ на второй член многочлена $2c$.
Для этого перемножаем числовые коэффициенты $(-5 \text{ и } 2)$ и переменные $(a \text{ и } c)$.
$(-5a) \cdot (2c) = (-5 \cdot 2) \cdot (a \cdot c) = -10ac$

Шаг 3: Умножаем одночлен $-5a$ на третий член многочлена $-4$.
Перемножаем числовые коэффициенты $(-5 \text{ и } -4)$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число.
$(-5a) \cdot (-4) = (-5 \cdot -4) \cdot a = 20a$

Шаг 4: Записываем сумму полученных произведений.
Складываем результаты, полученные на предыдущих шагах, чтобы сформировать итоговый многочлен.
$-5ab + (-10ac) + 20a = -5ab - 10ac + 20a$

Таким образом, результатом умножения одночлена $-5a$ на многочлен $(b + 2c - 4)$ является многочлен $-5ab - 10ac + 20a$.

Ответ: $-5ab - 10ac + 20a$