Страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.126 Решите уравнение:

а) $x(x + 1)(x - 10) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)$;

б) $(x - 1)(x - 4)(x + 7) = x(x + 1)^2$.

а) $x(x + 1)(x - 10) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)$

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения.

Левая часть:

$x(x + 1)(x - 10) = x(x^2 - 10x + x - 10) = x(x^2 - 9x - 10) = x^3 - 9x^2 - 10x$

Правая часть:

$(x - 1)(x - 3)(x - 5) = (x^2 - 3x - x + 3)(x - 5) = (x^2 - 4x + 3)(x - 5) = x^3 - 5x^2 - 4x^2 + 20x + 3x - 15 = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$

Приравняем левую и правую части:

$x^3 - 9x^2 - 10x = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$

Сократим одинаковые слагаемые $x^3$ и $-9x^2$ в обеих частях уравнения:

$-10x = 23x - 15$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$15 = 23x + 10x$

$15 = 33x$

Найдем $x$:

$x = \frac{15}{33}$

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{5}{11}$

Ответ: $x = \frac{5}{11}$.

б) $(x - 1)(x - 4)(x + 7) = x(x + 1)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть:

$(x - 1)(x - 4)(x + 7) = (x^2 - 4x - x + 4)(x + 7) = (x^2 - 5x + 4)(x + 7) = x^3 + 7x^2 - 5x^2 - 35x + 4x + 28 = x^3 + 2x^2 - 31x + 28$

Правая часть:

$x(x + 1)^2 = x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x$

Приравняем левую и правую части:

$x^3 + 2x^2 - 31x + 28 = x^3 + 2x^2 + x$

Сократим одинаковые слагаемые $x^3$ и $2x^2$ в обеих частях уравнения:

$-31x + 28 = x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону:

$28 = x + 31x$

$28 = 32x$

Найдем $x$:

$x = \frac{28}{32}$

Сократим дробь на 4:

$x = \frac{7}{8}$

Ответ: $x = \frac{7}{8}$.

6.127 Докажите, что:

а) $(a+b)(a+b+2c) = (a+b)(a+b+c) + ac + bc$;

б) $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac).$

а) Для доказательства тождества $(a + b)(a + b + 2c) = (a + b)(a + b + c) + ac + bc$ преобразуем его правую часть.

Рассмотрим правую часть равенства: $(a + b)(a + b + c) + ac + bc$.

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $c$:

$(a + b)(a + b + c) + c(a + b)$.

Теперь в выражении есть общий множитель $(a + b)$, который также можно вынести за скобки:

$(a + b)[(a + b + c) + c]$.

Упростим выражение в квадратных скобках, приведя подобные слагаемые:

$(a + b)(a + b + c + c) = (a + b)(a + b + 2c)$.

Полученное выражение полностью совпадает с левой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$ раскроем скобки в правой части выражения.

Правая часть: $(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$.

Умножим каждый член из первой скобки ($a, b, c$) на многочлен во второй скобке:

$a(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) + b(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) + c(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$(a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - abc - a^2c) + (a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - b^2c - abc) + (a^2c + b^2c + c^3 - abc - bc^2 - ac^2)$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$a^3 + b^3 + c^3 + (ab^2 - ab^2) + (ac^2 - ac^2) + (-a^2b + a^2b) + (bc^2 - bc^2) + (-b^2c + b^2c) + (-a^2c + a^2c) - abc - abc - abc$

Все пары слагаемых в скобках взаимно уничтожаются, так как их сумма равна нулю. Остаются следующие члены:

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

Полученное выражение совпадает с левой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6.128 Докажите, что если $ac + bc + ac = 0$, то $(a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b) = a^2 + b^2 + c^2$.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Левая часть (ЛЧ) выражения:

ЛЧ = $(a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b)$

Раскроем скобки для каждого слагаемого:

$(a - b)(a - c) = a^2 - ac - ab + bc$

$(b - c)(b - a) = b^2 - ab - bc + ac$

$(c - a)(c - b) = c^2 - bc - ac + ab$

Теперь сложим все три полученных выражения:

ЛЧ = $(a^2 - ac - ab + bc) + (b^2 - ab - bc + ac) + (c^2 - bc - ac + ab)$

Сгруппируем подобные члены:

ЛЧ = $(a^2 + b^2 + c^2) + (-ab - ab + ab) + (bc - bc - bc) + (-ac + ac - ac)$

Упростим выражение, выполнив сложение и вычитание в каждой группе:

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$

Вынесем знак минус за скобки у последних трёх членов:

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ac)$

Согласно условию задачи, мы знаем, что $ab + bc + ac = 0$.

Подставим это значение в полученное выражение для левой части:

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2 - (0)$

ЛЧ = $a^2 + b^2 + c^2$

Правая часть (ПЧ) исходного тождества равна $a^2 + b^2 + c^2$.

Сравнивая преобразованную левую часть и правую часть, получаем:

$a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

6.129 Упростите выражение:

а) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 5) - (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x - 3);$

б) $(n - 1)(n - 6)(n^2 - 7n - 3) - (n - 3)(n - 4)(n^2 - 7n + 1).$

Подсказка. Сделайте замену; например, в п. а: $x^2 - 3x = y.$

а) Исходное выражение: $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 5) - (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x - 3)$.
Заметим, что в каждой скобке присутствует выражение $x^2 - 3x$. Воспользуемся подсказкой и сделаем замену: пусть $y = x^2 - 3x$.
Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:
$(y + 1)(y + 5) - (y + 2)(y - 3)$.
Теперь раскроем скобки в каждом произведении:
$(y + 1)(y + 5) = y^2 + 5y + y + 5 = y^2 + 6y + 5$
$(y + 2)(y - 3) = y^2 - 3y + 2y - 6 = y^2 - y - 6$
Подставим полученные многочлены обратно в выражение и упростим его:
$(y^2 + 6y + 5) - (y^2 - y - 6) = y^2 + 6y + 5 - y^2 + y + 6 = (y^2 - y^2) + (6y + y) + (5 + 6) = 7y + 11$.
Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 - 3x$ вместо $y$:
$7(x^2 - 3x) + 11 = 7x^2 - 21x + 11$.
Ответ: $7x^2 - 21x + 11$

б) Исходное выражение: $(n - 1)(n - 6)(n^2 - 7n - 3) - (n - 3)(n - 4)(n^2 - 7n + 1)$.
Сначала перемножим пары двучленов в каждой части выражения:
$(n - 1)(n - 6) = n^2 - 6n - n + 6 = n^2 - 7n + 6$
$(n - 3)(n - 4) = n^2 - 4n - 3n + 12 = n^2 - 7n + 12$
Теперь выражение выглядит так:
$(n^2 - 7n + 6)(n^2 - 7n - 3) - (n^2 - 7n + 12)(n^2 - 7n + 1)$.
Мы видим, что общая часть это $n^2 - 7n$. Сделаем замену: пусть $z = n^2 - 7n$.
Выражение примет вид:
$(z + 6)(z - 3) - (z + 12)(z + 1)$.
Раскроем скобки:
$(z + 6)(z - 3) = z^2 - 3z + 6z - 18 = z^2 + 3z - 18$
$(z + 12)(z + 1) = z^2 + z + 12z + 12 = z^2 + 13z + 12$
Подставим обратно и упростим:
$(z^2 + 3z - 18) - (z^2 + 13z + 12) = z^2 + 3z - 18 - z^2 - 13z - 12 = (z^2 - z^2) + (3z - 13z) + (-18 - 12) = -10z - 30$.
Выполним обратную замену $z = n^2 - 7n$:
$-10(n^2 - 7n) - 30 = -10n^2 + 70n - 30$.
Ответ: $-10n^2 + 70n - 30$

6.130 Решите уравнение:

a) $5(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7) + 12 = 7(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7) - 4;$

б) $1 - 2(\frac{x}{5} - \frac{x}{3} - 5) = 14 + (\frac{x}{5} - \frac{x}{3} - 6);$

в) $7(2(5x + 1) - 3) - 15 = 4(2(5x + 1) - 3);$

г) $4(3(2x - 1) + 7) - 4 = 3(3(2x - 1) + 6).$

Подсказка. Сделайте замену; например, в п. а: $\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7 = y$; выполнив соответствующую подстановку, решите уравнение.

а) Данное уравнение: $5(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7) + 12 = 7(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7) - 4$.
Для упрощения решения введем замену. Пусть $y = \frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7$.
Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:
$5y + 12 = 7y - 4$
Теперь решим это уравнение относительно $y$. Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а числа — в левую:
$12 + 4 = 7y - 5y$
$16 = 2y$
$y = \frac{16}{2} = 8$
Теперь, когда мы нашли $y$, сделаем обратную замену, чтобы найти $x$:
$\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7 = 8$
$\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 8 - 7$
$\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 1$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6:
$\frac{2x}{6} + \frac{x}{6} = 1$
$\frac{3x}{6} = 1$
Сократим дробь:
$\frac{x}{2} = 1$
$x = 2$
Ответ: 2.

б) Данное уравнение: $1 - 2(\frac{x}{5} - \frac{x}{3} - 5) = 14 + (\frac{x}{5} - \frac{x}{3} - 6)$.
Заметим, что в обеих частях уравнения присутствует выражение $\frac{x}{5} - \frac{x}{3}$. Сделаем замену: пусть $y = \frac{x}{5} - \frac{x}{3}$.
Подставим $y$ в уравнение:
$1 - 2(y - 5) = 14 + (y - 6)$
Раскроем скобки:
$1 - 2y + 10 = 14 + y - 6$
Упростим обе части:
$11 - 2y = 8 + y$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа — в другую:
$11 - 8 = y + 2y$
$3 = 3y$
$y = 1$
Теперь выполним обратную замену:
$\frac{x}{5} - \frac{x}{3} = 1$
Приведем к общему знаменателю 15:
$\frac{3x}{15} - \frac{5x}{15} = 1$
$\frac{3x - 5x}{15} = 1$
$\frac{-2x}{15} = 1$
$-2x = 15$
$x = -\frac{15}{2} = -7.5$
Ответ: -7.5.

в) Данное уравнение: $7(2(5x + 1) - 3) - 15 = 4(2(5x + 1) - 3)$.
Здесь повторяется выражение $2(5x + 1) - 3$. Сделаем замену: пусть $y = 2(5x + 1) - 3$.
Уравнение примет вид:
$7y - 15 = 4y$
Решим относительно $y$:
$7y - 4y = 15$
$3y = 15$
$y = 5$
Сделаем обратную замену:
$2(5x + 1) - 3 = 5$
$2(5x + 1) = 8$
$5x + 1 = 4$
$5x = 3$
$x = \frac{3}{5} = 0.6$
Ответ: 0.6.

г) Данное уравнение: $4(3(2x - 1) + 7) - 4 = 3(3(2x - 1) + 6)$.
Повторяющееся выражение здесь — $3(2x - 1)$. Введем замену: пусть $y = 3(2x - 1)$.
Подставим $y$ в уравнение:
$4(y + 7) - 4 = 3(y + 6)$
Раскроем скобки:
$4y + 28 - 4 = 3y + 18$
$4y + 24 = 3y + 18$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$4y - 3y = 18 - 24$
$y = -6$
Теперь выполним обратную замену:
$3(2x - 1) = -6$
Разделим обе части на 3:
$2x - 1 = -2$
$2x = -2 + 1$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2} = -0.5$
Ответ: -0.5.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (6.131–6.133)

6.131 Дано выражение $(4m - 2n)(m - n)$. Укажите выражения, противоположные данному; равные данному:

$(2n - 4m)(m - n)$;

$-(2n - 4m)(m - n)$;

$(2n - 4m)(n - m)$;

$(4m - 2n)(n - m)$;

$(4m + 2n)(m + n)$;

$(4m - 2n)(m + n)$;

$-(4m - 2n)(m - n)$;

$-(4m - 2n)(n - m)$.

Пусть исходное выражение $A = (4m - 2n)(m - n)$.

Два выражения $X$ и $Y$ называются противоположными, если $X = -Y$. Для нахождения равных и противоположных выражений будем использовать свойство $a - b = -(b - a)$.

Противоположным данному является выражение $-A = -(4m - 2n)(m - n)$. Найдем среди предложенных выражений те, которые тождественно равны $-A$.

• $(2n - 4m)(m - n)$:
  Вынесем $-1$ из первой скобки: $2n - 4m = -(4m - 2n)$.
  Получим: $-(4m - 2n)(m - n)$. Это выражение противоположно данному.

• $(4m - 2n)(n - m)$:
  Вынесем $-1$ из второй скобки: $n - m = -(m - n)$.
  Получим: $(4m - 2n)(-(m - n)) = -(4m - 2n)(m - n)$. Это выражение противоположно данному.

• $-(4m - 2n)(m - n)$:
  Это выражение по определению является противоположным исходному.

Ответ: $(2n - 4m)(m - n)$; $(4m - 2n)(n - m)$; $-(4m - 2n)(m - n)$.

Найдем среди предложенных выражений те, которые тождественно равны $A = (4m - 2n)(m - n)$.

• $-(2n - 4m)(m - n)$:
  Преобразуем $2n - 4m = -(4m - 2n)$.
  Получим: $-(-(4m - 2n))(m - n) = (4m - 2n)(m - n)$. Это выражение равно данному.

• $(2n - 4m)(n - m)$:
  Вынесем $-1$ из каждой скобки: $2n - 4m = -(4m - 2n)$ и $n - m = -(m - n)$.
  Получим: $(-(4m - 2n)) \cdot (-(m - n)) = (4m - 2n)(m - n)$. Это выражение равно данному.

• $-(4m - 2n)(n - m)$:
  Преобразуем $n - m = -(m - n)$.
  Получим: $-(4m - 2n)(-(m - n)) = -(-(4m - 2n)(m - n)) = (4m - 2n)(m - n)$. Это выражение равно данному.

Выражения $(4m + 2n)(m + n)$ и $(4m - 2n)(m + n)$ не являются ни равными, ни противоположными данному, так как содержат другие знаки и/или слагаемые.

Ответ: $-(2n - 4m)(m - n)$; $(2n - 4m)(n - m)$; $-(4m - 2n)(n - m)$.

6.132 Выпишите выражения, равные произведению

$(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5):$

$(1 - n)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5); \quad (n - 1)(2 - n)(n - 3)(4 - n)(n - 5);$

$(1 - n)(2 - n)(3 - n)(4 - n)(5 - n); \quad (1 - n)(2 - n)(n - 3)(4 - n)(5 - n).$

Чтобы определить, какие из предложенных выражений равны исходному произведению $(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$, мы проанализируем каждое из них. Основное правило, которое мы будем использовать, заключается в том, что при изменении знака в одном множителе $(a-b) = -(b-a)$, знак всего произведения меняется на противоположный. Если же знак меняется в четном количестве множителей, то знак всего произведения не меняется, так как $(-1) \cdot (-1) = 1$.

В этом выражении по сравнению с исходным изменен только первый множитель: $(1-n) = -(n-1)$.

Таким образом, все выражение можно записать как:

$ -(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) $

Знак был изменен у одного множителя (нечетное число), поэтому все произведение не равно исходному.

Ответ: не равно.

В этом выражении изменены два множителя:

• $(2-n) = -(n-2)$
• $(4-n) = -(n-4)$

Подставим преобразованные множители в выражение:

$(n-1) \cdot (-(n-2)) \cdot (n-3) \cdot (-(n-4)) \cdot (n-5)$

Вынесем знаки "минус":

$(-1) \cdot (-1) \cdot (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$

Так как $(-1)^2 = 1$, итоговое выражение равно исходному:

$(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$

Знак был изменен у двух множителей (четное число), поэтому произведение равно исходному.

Ответ: равно.

В данном выражении изменены все пять множителей:

• $(1-n) = -(n-1)$
• $(2-n) = -(n-2)$
• $(3-n) = -(n-3)$
• $(4-n) = -(n-4)$
• $(5-n) = -(n-5)$

Произведение примет вид:

$(-(n-1)) \cdot (-(n-2)) \cdot (-(n-3)) \cdot (-(n-4)) \cdot (-(n-5))$

Вынеся все знаки "минус", получим:

$(-1)^5 \cdot (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$

Поскольку $(-1)^5 = -1$, выражение не равно исходному.

Знак был изменен у пяти множителей (нечетное число), поэтому все произведение не равно исходному.

Ответ: не равно.

Здесь изменены четыре множителя:

• $(1-n) = -(n-1)$
• $(2-n) = -(n-2)$
• $(4-n) = -(n-4)$
• $(5-n) = -(n-5)$

Подставим преобразования:

$(-(n-1)) \cdot (-(n-2)) \cdot (n-3) \cdot (-(n-4)) \cdot (-(n-5))$

Вынесем знаки "минус":

$(-1)^4 \cdot (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$

Так как $(-1)^4 = 1$, итоговое выражение равно исходному:

$(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$

Знак был изменен у четырех множителей (четное число), поэтому произведение равно исходному.

Ответ: равно.

Таким образом, выражения, равные произведению $(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$, это:

1. $(n-1)(2-n)(n-3)(4-n)(n-5)$

2. $(1-n)(2-n)(n-3)(4-n)(5-n)$

6.133 Представьте каждое произведение в виде многочлена:

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4);$

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(4 - x);$

$(1 - x)(x - 2)(x - 3)(4 - x);$

$-(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4).$

Чтобы представить каждое произведение в виде многочлена, мы будем последовательно раскрывать скобки. Для удобства сначала решим первый пример, а затем будем использовать его результат для решения остальных, так как они тесно связаны.

Сначала перемножим первые две скобки и последние две скобки попарно.

1) $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

2) $(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$

Теперь перемножим полученные многочлены:

$(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = x^2(x^2 - 7x + 12) - 3x(x^2 - 7x + 12) + 2(x^2 - 7x + 12) =$
$= (x^4 - 7x^3 + 12x^2) - (3x^3 - 21x^2 + 36x) + (2x^2 - 14x + 24) =$
$= x^4 - 7x^3 + 12x^2 - 3x^3 + 21x^2 - 36x + 2x^2 - 14x + 24$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^4 + (-7x^3 - 3x^3) + (12x^2 + 21x^2 + 2x^2) + (-36x - 14x) + 24 =$
$= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

Ответ: $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

Заметим, что множитель $(4 - x)$ можно представить как $-(x - 4)$. Тогда все выражение можно записать так:

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(-(x - 4)) = -(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$

Это выражение является противоположным выражению из первого пункта. Поэтому, чтобы получить результат, достаточно поменять знаки у всех членов многочлена, полученного в первом решении.

$-(x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) = -x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

Ответ: $-x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

В этом выражении мы можем вынести знак минус из двух множителей: $(1 - x)$ и $(4 - x)$.

$(1 - x) = -(x - 1)$
$(4 - x) = -(x - 4)$

Подставим эти выражения в исходное произведение:

$(-(x - 1))(x - 2)(x - 3)(-(x - 4)) = (-1) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3) \cdot (-1) \cdot (x - 4)$

Так как $(-1) \cdot (-1) = 1$, произведение становится идентичным выражению из первого пункта:

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$

Следовательно, результат совпадает с решением первого примера.

Ответ: $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

Данное выражение представляет собой произведение из первого пункта, взятое со знаком минус.

Используя результат первого решения $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$, мы просто меняем знаки у всех его членов:

$-(x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) = -x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

Ответ: $-x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$