Страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.151 Укажите пары равных выражений, пары противоположных выражений:

a) $(a - b)^2$, $(b - a)^2$, $-(a - b)^2$;

б) $(a - b)^3$, $(b - a)^3$, $-(b - a)^3$;

в) $(a - b)^4$, $(b - a)^4$, $-(b - a)^4$.

а) Рассмотрим выражения $(a - b)^2$, $(b - a)^2$, $-(a - b)^2$. Для их сравнения воспользуемся основным свойством: $b - a = -(a - b)$.

Преобразуем выражение $(b - a)^2$: $(b - a)^2 = (-(a - b))^2$. Поскольку показатель степени 2 является четным числом, для любого числа $x$ выполняется равенство $(-x)^2 = x^2$. Следовательно, $(-(a - b))^2 = (a - b)^2$. Таким образом, выражения $(a - b)^2$ и $(b - a)^2$ равны.

Выражения $(a - b)^2$ и $-(a - b)^2$ являются противоположными, так как их сумма равна нулю: $(a - b)^2 + (-(a - b)^2) = 0$. Поскольку $(a - b)^2 = (b - a)^2$, то выражения $(b - a)^2$ и $-(a - b)^2$ также являются противоположными.

Ответ: пары равных выражений: $(a - b)^2$ и $(b - a)^2$; пары противоположных выражений: $(a - b)^2$ и $-(a - b)^2$, а также $(b - a)^2$ и $-(a - b)^2$.

б) Рассмотрим выражения $(a - b)^3$, $(b - a)^3$, $-(b - a)^3$. Используем свойство $b - a = -(a - b)$.

Преобразуем $(b - a)^3$: $(b - a)^3 = (-(a - b))^3$. Поскольку показатель степени 3 является нечетным числом, для любого числа $x$ выполняется равенство $(-x)^3 = -x^3$. Следовательно, $(-(a - b))^3 = -(a - b)^3$. Отсюда следует, что выражения $(a - b)^3$ и $(b - a)^3$ являются противоположными, так как их сумма $(a - b)^3 + (-(a - b)^3) = 0$.

Теперь сравним $(a - b)^3$ и $-(b - a)^3$. Мы уже знаем, что $(b - a)^3 = -(a - b)^3$. Подставив это во второе выражение, получим: $-(b - a)^3 = -(-(a - b)^3) = (a - b)^3$. Следовательно, выражения $(a - b)^3$ и $-(b - a)^3$ равны.

Пара $(b - a)^3$ и $-(b - a)^3$ является парой противоположных выражений по определению.

Ответ: пары равных выражений: $(a - b)^3$ и $-(b - a)^3$; пары противоположных выражений: $(a - b)^3$ и $(b - a)^3$, а также $(b - a)^3$ и $-(b - a)^3$.

в) Рассмотрим выражения $(a - b)^4$, $(b - a)^4$, $-(b - a)^4$.

Поскольку показатель степени 4 является четным числом, этот случай аналогичен пункту а). Преобразуем $(b - a)^4$: $(b - a)^4 = (-(a - b))^4 = (a - b)^4$. Таким образом, выражения $(a - b)^4$ и $(b - a)^4$ равны.

Выражения $(b - a)^4$ и $-(b - a)^4$ являются противоположными по определению. Так как $(a - b)^4 = (b - a)^4$, то пара $(a - b)^4$ и $-(b - a)^4$ также является парой противоположных выражений.

Ответ: пары равных выражений: $(a - b)^4$ и $(b - a)^4$; пары противоположных выражений: $(a - b)^4$ и $-(b - a)^4$, а также $(b - a)^4$ и $-(b - a)^4$.

6.152 Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения:

а) $(x - 3)(3 - x)$;

б) $(2a^2 - b)(b - 2a^2)$;

в) $(3x + 2y)(-3x - 2y)$;

г) $(-c^2 - 2d)(c^2 + 2d)$.

а) $(x - 3)(3 - x)$

Чтобы использовать формулу сокращенного умножения, преобразуем второй множитель. Для этого вынесем за скобку $-1$:

$(3 - x) = -(x - 3)$

Теперь исходное выражение можно записать в следующем виде:

$(x - 3)(-(x - 3)) = -(x - 3)(x - 3) = -(x - 3)^2$

Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 3$:

$-(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) = -(x^2 - 6x + 9)$

Раскрываем скобки, меняя знаки на противоположные:

$-x^2 + 6x - 9$

Ответ: $-x^2 + 6x - 9$

б) $(2a^2 - b)(b - 2a^2)$

Этот пример решается аналогично предыдущему. Вынесем $-1$ за скобки во втором множителе:

$(b - 2a^2) = -(2a^2 - b)$

Подставим преобразованный множитель в исходное выражение:

$(2a^2 - b)(-(2a^2 - b)) = -(2a^2 - b)(2a^2 - b) = -(2a^2 - b)^2$

Используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 2a^2$ и $y = b$:

$-((2a^2)^2 - 2 \cdot 2a^2 \cdot b + b^2) = -(4a^4 - 4a^2b + b^2)$

Раскроем скобки:

$-4a^4 + 4a^2b - b^2$

Ответ: $-4a^4 + 4a^2b - b^2$

в) $(3x + 2y)(-3x - 2y)$

Вынесем общий множитель $-1$ из второго выражения в скобках:

$(-3x - 2y) = -(3x + 2y)$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$(3x + 2y)(-(3x + 2y)) = -(3x + 2y)(3x + 2y) = -(3x + 2y)^2$

Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 3x$ и $b = 2y$:

$-((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2) = -(9x^2 + 12xy + 4y^2)$

Раскроем скобки:

$-9x^2 - 12xy - 4y^2$

Ответ: $-9x^2 - 12xy - 4y^2$

г) $(-c^2 - 2d)(c^2 + 2d)$

Вынесем $-1$ за скобки в первом множителе:

$(-c^2 - 2d) = -(c^2 + 2d)$

Подставим это в исходное выражение:

$-(c^2 + 2d)(c^2 + 2d) = -(c^2 + 2d)^2$

Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = c^2$ и $b = 2d$:

$-((c^2)^2 + 2 \cdot c^2 \cdot 2d + (2d)^2) = -(c^4 + 4c^2d + 4d^2)$

Раскроем скобки:

$-c^4 - 4c^2d - 4d^2$

Ответ: $-c^4 - 4c^2d - 4d^2$

6.153 Упростите выражение:

а) $(y+2)^2 - 2(y+1)^2$;

б) $4(2-x)^2 + 5(x-5)^2$;

в) $(3-5x)^2 - (3x-2)(5x+1)$;

г) $6(a-2)(a-3) - 4(a-3)^2$.

а) $(y + 2)^2 - 2(y + 1)^2$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем каждую скобку по отдельности:

$(y + 2)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = y^2 + 4y + 4$

$(y + 1)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = y^2 + 2y + 1$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(y^2 + 4y + 4) - 2(y^2 + 2y + 1)$

Раскроем скобки, умножив второе выражение на -2:

$y^2 + 4y + 4 - 2y^2 - 4y - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - 2y^2) + (4y - 4y) + (4 - 2) = -y^2 + 0y + 2 = -y^2 + 2$

Ответ: $-y^2 + 2$

б) $4(2 - x)^2 + 5(x - 5)^2$

Для упрощения воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Раскроем каждую скобку в квадрате:

$(2 - x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2$

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

Подставим полученные выражения в исходное:

$4(4 - 4x + x^2) + 5(x^2 - 10x + 25)$

Раскроем скобки, умножив на коэффициенты 4 и 5:

$(16 - 16x + 4x^2) + (5x^2 - 50x + 125)$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 + 5x^2) + (-16x - 50x) + (16 + 125) = 9x^2 - 66x + 141$

Ответ: $9x^2 - 66x + 141$

в) $(3 - 5x)^2 - (3x - 2)(5x + 1)$

Раскроем квадрат разности и произведение двух скобок.

$(3 - 5x)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5x + (5x)^2 = 9 - 30x + 25x^2$

$(3x - 2)(5x + 1) = 3x \cdot 5x + 3x \cdot 1 - 2 \cdot 5x - 2 \cdot 1 = 15x^2 + 3x - 10x - 2 = 15x^2 - 7x - 2$

Подставим полученные выражения в исходное (обращая внимание на знак "минус" перед вторым выражением):

$(9 - 30x + 25x^2) - (15x^2 - 7x - 2)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$9 - 30x + 25x^2 - 15x^2 + 7x + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(25x^2 - 15x^2) + (-30x + 7x) + (9 + 2) = 10x^2 - 23x + 11$

Ответ: $10x^2 - 23x + 11$

г) $6(a - 2)(a - 3) - 4(a - 3)^2$

Раскроем произведение скобок и квадрат разности.

$(a - 2)(a - 3) = a^2 - 3a - 2a + 6 = a^2 - 5a + 6$

$(a - 3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$

Подставим полученные выражения в исходное:

$6(a^2 - 5a + 6) - 4(a^2 - 6a + 9)$

Раскроем скобки, умножив на коэффициенты 6 и -4:

$(6a^2 - 30a + 36) + (-4a^2 + 24a - 36)$

$6a^2 - 30a + 36 - 4a^2 + 24a - 36$

Приведем подобные слагаемые:

$(6a^2 - 4a^2) + (-30a + 24a) + (36 - 36) = 2a^2 - 6a$

Ответ: $2a^2 - 6a$

6.154 Упростите выражение:

а) $(m^2 + n - 4)^2 - (m^2 + n - 1)(m^2 + n - 8);$

б) $(2x^2 + x - 5)^2 - (2x^2 + x)(2x^2 + x - 1) + 9(2x^2 + x).$

Подсказка. Сделайте удобную замену.

а) $(m^2 + n - 4)^2 - (m^2 + n - 1)(m^2 + n - 8)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом замены. Заметим, что в выражении несколько раз встречается часть $m^2 + n$.

Пусть $y = m^2 + n$. Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$(y - 4)^2 - (y - 1)(y - 8)$

Теперь раскроем скобки. Квадрат разности раскрывается по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а произведение двух скобок — путем перемножения каждого члена одной скобки на каждый член другой:

$(y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2) - (y \cdot y - 8y - 1 \cdot y + 8) = (y^2 - 8y + 16) - (y^2 - 9y + 8)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 8y + 16 - y^2 + 9y - 8 = (y^2 - y^2) + (-8y + 9y) + (16 - 8) = y + 8$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $y$ выражение $m^2 + n$:

$y + 8 = m^2 + n + 8$

Ответ: $m^2 + n + 8$

б) $(2x^2 + x - 5)^2 - (2x^2 + x)(2x^2 + x - 1) + 9(2x^2 + x)$

Аналогично предыдущему пункту, сделаем удобную замену. Общей частью здесь является выражение $2x^2 + x$.

Пусть $z = 2x^2 + x$. Подставим $z$ в исходное выражение:

$(z - 5)^2 - z(z - 1) + 9z$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$(z^2 - 2 \cdot z \cdot 5 + 5^2) - (z^2 - z) + 9z = (z^2 - 10z + 25) - z^2 + z + 9z$

Приведем подобные слагаемые:

$z^2 - 10z + 25 - z^2 + z + 9z = (z^2 - z^2) + (-10z + z + 9z) + 25 = 0 + 0 + 25 = 25$

В результате упрощения мы получили число, не зависящее от переменной $x$. Обратная замена не требуется.

Ответ: $25$

ДОКАЗЫВАЕМ (6.155–6.157)

6.155 Докажите, что:

а) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$;

б) $(p^2 + q^2)^2 = (p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2$;

в) $\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab} = 4$;

г) $-\frac{(a-b)^2 - (a+b)^2}{4} = ab.

Для доказательства тождества $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$ преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$

Приведем подобные слагаемые. Члены $2abcd$ и $-2abcd$ взаимно уничтожаются:

$a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$

Перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(a^2c^2 + a^2d^2) + (b^2c^2 + b^2d^2) = a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(c^2 + d^2)$:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$

В результате преобразования правой части мы получили левую часть. Тождество доказано.

Ответ: $(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$.

Для доказательства тождества $(p^2 + q^2)^2 = (p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2$ преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и свойство возведения произведения в степень.

$(p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2 = ((p^2)^2 - 2p^2q^2 + (q^2)^2) + 4p^2q^2 = p^4 - 2p^2q^2 + q^4 + 4p^2q^2$

Приведем подобные слагаемые:

$p^4 + 2p^2q^2 + q^4$

Полученное выражение представляет собой полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, где $x=p^2$ и $y=q^2$:

$p^4 + 2p^2q^2 + q^4 = (p^2 + q^2)^2$

Правая часть тождества равна левой. Тождество доказано.

Ответ: $(p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2 = (p^2 + q^2)^2$.

Для доказательства тождества $\frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{ab} = 4$ преобразуем его левую часть. Сначала упростим числитель дроби, раскрыв скобки по формулам сокращенного умножения.

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab) = 4ab$

Подставим полученный результат обратно в дробь:

$\frac{4ab}{ab}$

Сократим дробь на $ab$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$), получим 4. Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: 4.

Для доказательства тождества $-\frac{(a - b)^2 - (a + b)^2}{4} = ab$ преобразуем его левую часть. Упростим выражение в числителе дроби:

$(a - b)^2 - (a + b)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) = a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (-2ab - 2ab) = -4ab$

Подставим результат в исходное выражение:

$-\frac{-4ab}{4}$

Два знака "минус" дают "плюс", поэтому выражение упрощается до:

$\frac{4ab}{4} = ab$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: ab.

6.156 Выведите формулу куба суммы

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Пользуясь этой формулой, преобразуйте выражение:

а) $(x + y)^3$;

б) $(x + 2y)^3$.

Для вывода формулы куба суммы $(a+b)^3$ представим ее в виде произведения:

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2$

Воспользуемся известной формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Подставим это выражение в нашу формулу:

$(a+b)^3 = (a+b)(a^2+2ab+b^2)$

Теперь раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на второй многочлен:

$a(a^2+2ab+b^2) + b(a^2+2ab+b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2$

$a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b+a^2b) + (ab^2+2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Таким образом, формула куба суммы доказана: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Теперь применим эту формулу для преобразования выражений.

а) Преобразуем выражение $(x+y)^3$.

В данном случае $a=x$ и $b=y$. Подставляем эти значения в формулу куба суммы:

$(x+y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^2 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Ответ: $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

б) Преобразуем выражение $(x+2y)^3$.

В данном случае $a=x$ и $b=2y$. Подставляем эти значения в формулу куба суммы:

$(x+2y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 + (2y)^3$.

Выполним вычисления:

$x^3 + 3 \cdot 2 \cdot x^2y + 3 \cdot x \cdot 4y^2 + 8y^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$.

Ответ: $x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$.

6.157 Выведите формулу куба разности

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

С помощью этой формулы представьте в виде многочлена:

a) $(x - y)^3$;

б) $(3x - y)^3$.

Для вывода формулы куба разности представим $(a - b)^3$ в виде произведения $(a - b)$ и $(a - b)^2$.

Сначала воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Теперь умножим $(a - b)$ на полученный многочлен $(a^2 - 2ab + b^2)$:

$(a - b)^3 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2) = a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки:

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - ba^2 + 2ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Таким образом, формула куба разности доказана: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Теперь используем эту формулу для преобразования выражений в многочлены.

а) Для выражения $(x - y)^3$ подставим $a = x$ и $b = y$ в формулу куба разности:

$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Ответ: $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

б) Для выражения $(3x - y)^3$ подставим $a = 3x$ и $b = y$ в формулу куба разности:

$(3x - y)^3 = (3x)^3 - 3(3x)^2(y) + 3(3x)(y)^2 - y^3$

Упростим каждый член многочлена:

$(3x)^3 = 27x^3$

$-3(3x)^2(y) = -3(9x^2)y = -27x^2y$

$3(3x)(y)^2 = 9xy^2$

$-y^3$

Соберем все вместе:

$(3x - y)^3 = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

Ответ: $27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$.

6.158 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности, представьте в виде многочлена выражение:

a) $(a + b)^4$;

б) $(a - b)^4$.

а) Чтобы представить выражение $(a+b)^4$ в виде многочлена, воспользуемся свойством степени и представим его как квадрат квадрата:
$(a+b)^4 = ((a+b)^2)^2$
Сначала применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ для внутреннего выражения:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Теперь подставим полученный многочлен обратно в исходное выражение:
$((a+b)^2)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)^2$
Чтобы возвести в квадрат этот трехчлен, сгруппируем слагаемые и снова применим формулу квадрата суммы. Пусть $x = a^2 + b^2$ и $y = 2ab$:
$((a^2 + b^2) + 2ab)^2 = (a^2 + b^2)^2 + 2 \cdot (a^2 + b^2) \cdot (2ab) + (2ab)^2$
Раскроем каждое слагаемое по отдельности:
1. $(a^2 + b^2)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$
2. $2 \cdot (a^2 + b^2) \cdot (2ab) = 4ab(a^2 + b^2) = 4a^3b + 4ab^3$
3. $(2ab)^2 = 4a^2b^2$
Соберем все вместе и приведем подобные слагаемые:
$(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) + (4a^3b + 4ab^3) + 4a^2b^2 = a^4 + 4a^3b + (2a^2b^2 + 4a^2b^2) + 4ab^3 + b^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
Ответ: $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

б) Аналогично представим выражение $(a-b)^4$ как квадрат квадрата:
$(a-b)^4 = ((a-b)^2)^2$
Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Подставим результат обратно:
$((a-b)^2)^2 = (a^2 - 2ab + b^2)^2$
Снова возведем в квадрат трехчлен, сгруппировав слагаемые. Пусть $x = a^2 + b^2$ и $y = 2ab$. Воспользуемся формулой квадрата разности:
$((a^2 + b^2) - 2ab)^2 = (a^2 + b^2)^2 - 2 \cdot (a^2 + b^2) \cdot (2ab) + (2ab)^2$
Раскроем каждое слагаемое:
1. $(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$
2. $-2 \cdot (a^2 + b^2) \cdot (2ab) = -4ab(a^2 + b^2) = -4a^3b - 4ab^3$
3. $(2ab)^2 = 4a^2b^2$
Соберем все вместе и приведем подобные слагаемые:
$(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - (4a^3b + 4ab^3) + 4a^2b^2 = a^4 - 4a^3b + (2a^2b^2 + 4a^2b^2) - 4ab^3 + b^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$
Ответ: $a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$.

6.159 Представьте в виде квадрата двучлена:

a) $(2a + 3b)^2 - 8b(2a + b);$

б) $(3x - 2y)^2 + 5x(4y - x).$

а) $(2a + 3b)^2 - 8b(2a + b)$

Для решения этой задачи необходимо сначала раскрыть скобки, а затем сгруппировать подобные слагаемые. Полученный трехчлен нужно будет свернуть в квадрат двучлена, используя формулы сокращенного умножения.

1. Раскроем квадрат двучлена $(2a + 3b)^2$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом $-8b(2a + b)$:

$-8b(2a + b) = -8b \cdot 2a - 8b \cdot b = -16ab - 8b^2$

3. Теперь сложим полученные выражения:

$(4a^2 + 12ab + 9b^2) + (-16ab - 8b^2) = 4a^2 + 12ab + 9b^2 - 16ab - 8b^2$

4. Приведем подобные слагаемые:

$4a^2 + (12ab - 16ab) + (9b^2 - 8b^2) = 4a^2 - 4ab + b^2$

5. Полученное выражение $4a^2 - 4ab + b^2$ является полным квадратом разности. Представим его в виде квадрата двучлена, используя формулу $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$, где $x = 2a$ и $y = b$:

$4a^2 - 4ab + b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = (2a - b)^2$

Ответ: $(2a - b)^2$

б) $(3x - 2y)^2 + 5x(4y - x)$

Решение аналогично предыдущему пункту: раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и сворачиваем полученное выражение в квадрат двучлена.

1. Раскроем квадрат двучлена $(3x - 2y)^2$ по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x - 2y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом $5x(4y - x)$:

$5x(4y - x) = 5x \cdot 4y + 5x \cdot (-x) = 20xy - 5x^2$

3. Сложим полученные выражения:

$(9x^2 - 12xy + 4y^2) + (20xy - 5x^2) = 9x^2 - 12xy + 4y^2 + 20xy - 5x^2$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 5x^2) + (-12xy + 20xy) + 4y^2 = 4x^2 + 8xy + 4y^2$

5. Полученное выражение $4x^2 + 8xy + 4y^2$ является полным квадратом суммы. Представим его в виде квадрата двучлена, используя формулу $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, где $a = 2x$ и $b = 2y$:

$4x^2 + 8xy + 4y^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (2y) + (2y)^2 = (2x + 2y)^2$

Ответ: $(2x + 2y)^2$