Номер 6.153, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.153 Упростите выражение:

а) $(y+2)^2 - 2(y+1)^2$;

б) $4(2-x)^2 + 5(x-5)^2$;

в) $(3-5x)^2 - (3x-2)(5x+1)$;

г) $6(a-2)(a-3) - 4(a-3)^2$.

а) $(y + 2)^2 - 2(y + 1)^2$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем каждую скобку по отдельности:

$(y + 2)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = y^2 + 4y + 4$

$(y + 1)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = y^2 + 2y + 1$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(y^2 + 4y + 4) - 2(y^2 + 2y + 1)$

Раскроем скобки, умножив второе выражение на -2:

$y^2 + 4y + 4 - 2y^2 - 4y - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - 2y^2) + (4y - 4y) + (4 - 2) = -y^2 + 0y + 2 = -y^2 + 2$

Ответ: $-y^2 + 2$

б) $4(2 - x)^2 + 5(x - 5)^2$

Для упрощения воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Раскроем каждую скобку в квадрате:

$(2 - x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2$

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

Подставим полученные выражения в исходное:

$4(4 - 4x + x^2) + 5(x^2 - 10x + 25)$

Раскроем скобки, умножив на коэффициенты 4 и 5:

$(16 - 16x + 4x^2) + (5x^2 - 50x + 125)$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 + 5x^2) + (-16x - 50x) + (16 + 125) = 9x^2 - 66x + 141$

Ответ: $9x^2 - 66x + 141$

в) $(3 - 5x)^2 - (3x - 2)(5x + 1)$

Раскроем квадрат разности и произведение двух скобок.

$(3 - 5x)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5x + (5x)^2 = 9 - 30x + 25x^2$

$(3x - 2)(5x + 1) = 3x \cdot 5x + 3x \cdot 1 - 2 \cdot 5x - 2 \cdot 1 = 15x^2 + 3x - 10x - 2 = 15x^2 - 7x - 2$

Подставим полученные выражения в исходное (обращая внимание на знак "минус" перед вторым выражением):

$(9 - 30x + 25x^2) - (15x^2 - 7x - 2)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$9 - 30x + 25x^2 - 15x^2 + 7x + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(25x^2 - 15x^2) + (-30x + 7x) + (9 + 2) = 10x^2 - 23x + 11$

Ответ: $10x^2 - 23x + 11$

г) $6(a - 2)(a - 3) - 4(a - 3)^2$

Раскроем произведение скобок и квадрат разности.

$(a - 2)(a - 3) = a^2 - 3a - 2a + 6 = a^2 - 5a + 6$

$(a - 3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$

Подставим полученные выражения в исходное:

$6(a^2 - 5a + 6) - 4(a^2 - 6a + 9)$

Раскроем скобки, умножив на коэффициенты 6 и -4:

$(6a^2 - 30a + 36) + (-4a^2 + 24a - 36)$

$6a^2 - 30a + 36 - 4a^2 + 24a - 36$

Приведем подобные слагаемые:

$(6a^2 - 4a^2) + (-30a + 24a) + (36 - 36) = 2a^2 - 6a$

Ответ: $2a^2 - 6a$