Номер 6.160, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.160 Докажите, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.

Для доказательства данного утверждения введем переменные. Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$). Тогда следующее за ним, то есть большее, число будет равно $n + 1$.

Согласно условию задачи, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти произведение этих двух чисел: $n \cdot (n + 1)$.

2. К полученному произведению прибавить большее из этих чисел, то есть $n + 1$.

Запишем получившееся математическое выражение: $n \cdot (n + 1) + (n + 1)$

Теперь нам нужно доказать, что это выражение равно квадрату большего числа. Большее число — это $n + 1$, а его квадрат равен $(n + 1)^2$.

Таким образом, задача сводится к доказательству тождества: $n \cdot (n + 1) + (n + 1) = (n + 1)^2$

Преобразуем левую часть выражения. Мы видим, что $(n + 1)$ является общим множителем для обоих слагаемых, поэтому мы можем вынести его за скобки: $n \cdot (n + 1) + 1 \cdot (n + 1) = (n + 1) \cdot (n + 1)$

Произведение выражения $(n + 1)$ на само себя по определению является его квадратом: $(n + 1) \cdot (n + 1) = (n + 1)^2$

Таким образом, мы доказали, что $n \cdot (n + 1) + (n + 1)$ действительно равно $(n + 1)^2$. Утверждение доказано.

Для наглядности рассмотрим пример. Возьмем последовательные числа 5 и 6.

Их произведение: $5 \cdot 6 = 30$.
Прибавим к произведению большее число (6): $30 + 6 = 36$.
Полученный результат 36 является квадратом большего числа 6, так как $6^2 = 36$.

Ответ: Утверждение верно. Если обозначить два последовательных натуральных числа как $n$ и $n+1$, то выражение «произведение двух чисел плюс большее из них» записывается как $n(n+1) + (n+1)$. После вынесения общего множителя $(n+1)$ за скобки получаем $(n+1)(n+1)$, что равно $(n+1)^2$ — квадрату большего числа. Что и требовалось доказать.