Номер 6.166, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.166 ИССЛЕДУЕМ

1) Используя формулу квадрата двучлена, возведите в квадрат трёхчлен $a+b+c$. (Указание. Сделайте замену $a+b=x$.) Проиллюстрируйте полученное равенство геометрически, изобразив квадрат со стороной $a+b+c$.

2) С помощью полученной формулы возведите в квадрат:

$a - b + c$; $a - b - c$.

3) По аналогии с формулой, полученной в п. 1, запишите формулу для преобразования в многочлен выражения $(a+b+c+d)^2$. Проверьте с помощью умножения, верно ли записанное равенство.

4) Пользуясь выведенной формулой, возведите в квадрат

$a + b - c + d$.

1) Чтобы возвести в квадрат трёхчлен $a + b + c$, воспользуемся указанием и сделаем замену $a + b = x$. Тогда выражение $(a + b + c)^2$ превратится в $(x + c)^2$.

Теперь применим формулу квадрата двучлена $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$:

$(x + c)^2 = x^2 + 2xc + c^2$

Сделаем обратную замену, подставив $a+b$ вместо $x$:

$(a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2$

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а затем умножим $2(a+b)$ на $c$:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (2ac + 2bc) + c^2$

Уберем скобки и сгруппируем слагаемые, сначала квадраты, потом удвоенные произведения:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Это и есть формула квадрата трёхчлена.

Геометрическая иллюстрация:

Представим квадрат, длина стороны которого равна $a + b + c$. Его площадь равна $(a + b + c)^2$.

Разделим каждую сторону этого квадрата на три отрезка длиной $a$, $b$ и $c$. Проведём через точки деления прямые, параллельные сторонам квадрата. В результате большой квадрат разобьётся на 9 меньших фигур:

• Три квадрата, расположенных на диагонали, с площадями $a^2$, $b^2$ и $c^2$.
• Шесть прямоугольников, расположенных симметрично относительно диагонали. Они образуют три пары равных прямоугольников с площадями $ab$, $ac$ и $bc$.

Площадь большого квадрата равна сумме площадей всех этих фигур:

$S = a^2 + b^2 + c^2 + ab + ab + ac + ac + bc + bc = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Таким образом, геометрически подтверждается, что $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

Ответ: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

2) Воспользуемся формулой, полученной в п. 1: $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$.

Для выражения $a - b + c$ представим его как $a + (-b) + c$. Тогда $x=a$, $y=-b$, $z=c$.

$(a - b + c)^2 = (a + (-b) + c)^2 = a^2 + (-b)^2 + c^2 + 2a(-b) + 2ac + 2(-b)c = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$.

Для выражения $a - b - c$ представим его как $a + (-b) + (-c)$. Тогда $x=a$, $y=-b$, $z=-c$.

$(a - b - c)^2 = (a + (-b) + (-c))^2 = a^2 + (-b)^2 + (-c)^2 + 2a(-b) + 2a(-c) + 2(-b)(-c) = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$.

Ответ: $(a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$; $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$.

3) По аналогии с формулой квадрата трёхчлена, квадрат четырёхчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс удвоенная сумма всевозможных попарных произведений его членов.

Формула для $(a + b + c + d)^2$ будет выглядеть так:

$(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd$

Проверим это равенство с помощью умножения, используя замену $x = a+b+c$:

$(a + b + c + d)^2 = ((a + b + c) + d)^2 = (x+d)^2 = x^2 + 2xd + d^2$

Подставим обратно $x = a+b+c$:

$(a+b+c)^2 + 2(a+b+c)d + d^2$

Используем результат из п. 1 для $(a+b+c)^2$ и раскроем скобки $2(a+b+c)d$:

$(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) + (2ad + 2bd + 2cd) + d^2$

Сгруппируем слагаемые:

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd$

Полученное выражение совпадает с формулой, записанной по аналогии. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Формула: $(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd$. Проверка подтвердила верность равенства.

4) Воспользуемся выведенной в п. 3 формулой для возведения в квадрат выражения $a + b - c + d$.

Представим выражение в виде $(a + b + (-c) + d)^2$. Применим формулу квадрата четырёхчлена, где в качестве третьего слагаемого выступает $-c$:

$(a + b - c + d)^2 = a^2 + b^2 + (-c)^2 + d^2 + 2ab + 2a(-c) + 2ad + 2b(-c) + 2bd + 2(-c)d$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab - 2ac + 2ad - 2bc + 2bd - 2cd$

Ответ: $(a + b - c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab - 2ac + 2ad - 2bc + 2bd - 2cd$.