Номер 6.170, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.170 Решите задачу (переформулируйте условие так, чтобы было легче составить уравнение):

а) От станции к озеру вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 0,5 ч вслед за ним от этой же станции и по той же дороге отправился велосипедист со скоростью 12 км/ч. К озеру они прибыли одновременно. Определите, сколько времени шёл пешеход и чему равно расстояние от станции до озера.

б) Из города Нового в город Молодёжный одновременно выезжают автобус и легковой автомобиль. Скорость автомобиля 80 км/ч, а скорость автобуса 60 км/ч. Автомобиль приезжает в город Молодёжный на 2 ч раньше автобуса. Определите, сколько времени ехал автобус и чему равно расстояние между городами.

а)

Переформулируем условие задачи: Пешеход и велосипедист прошли одно и то же расстояние от станции до озера. Скорость пешехода – 4 км/ч, а скорость велосипедиста – 12 км/ч. Время, затраченное пешеходом, на 0,5 часа больше, чем время, затраченное велосипедистом. Требуется найти время пешехода и расстояние до озера.

Пусть $t$ (ч) – время, которое шёл пешеход. Тогда, так как велосипедист выехал на 0,5 часа позже и прибыл одновременно с пешеходом, его время в пути составляет $(t - 0,5)$ ч.

Расстояние, которое прошёл пешеход, равно $S = v_{пеш} \cdot t = 4t$ км.

Расстояние, которое проехал велосипедист, равно $S = v_{вел} \cdot (t - 0,5) = 12(t - 0,5)$ км.

Так как они преодолели одинаковое расстояние, мы можем составить уравнение:

$4t = 12(t - 0,5)$

Решим это уравнение:

$4t = 12t - 6$

$12t - 4t = 6$

$8t = 6$

$t = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$ (ч)

Итак, время, которое шёл пешеход, составляет 0,75 часа.

Теперь найдём расстояние от станции до озера, подставив значение $t$ в формулу для пути пешехода:

$S = 4t = 4 \cdot 0,75 = 3$ (км)

Проверим, подставив в формулу для пути велосипедиста:

$S = 12(0,75 - 0,5) = 12 \cdot 0,25 = 3$ (км)

Результаты совпадают.

Ответ: пешеход шёл 0,75 часа, расстояние от станции до озера равно 3 км.

б)

Переформулируем условие задачи: Автобус и легковой автомобиль проехали одинаковое расстояние между городами. Скорость автобуса – 60 км/ч, скорость автомобиля – 80 км/ч. Время, затраченное автобусом, на 2 часа больше, чем время, затраченное автомобилем. Требуется найти время в пути автобуса и расстояние между городами.

Пусть $t$ (ч) – время, которое ехал автобус. Тогда, так как автомобиль приехал на 2 часа раньше, его время в пути составляет $(t - 2)$ ч.

Расстояние, которое проехал автобус, равно $S = v_{авт} \cdot t = 60t$ км.

Расстояние, которое проехал легковой автомобиль, равно $S = v_{легк} \cdot (t - 2) = 80(t - 2)$ км.

Так как они проехали одинаковое расстояние, составим уравнение:

$60t = 80(t - 2)$

Решим это уравнение:

$60t = 80t - 160$

$80t - 60t = 160$

$20t = 160$

$t = \frac{160}{20} = 8$ (ч)

Итак, время, которое ехал автобус, составляет 8 часов.

Теперь найдём расстояние между городами, подставив значение $t$ в формулу для пути автобуса:

$S = 60t = 60 \cdot 8 = 480$ (км)

Проверим, подставив в формулу для пути автомобиля:

$S = 80(8 - 2) = 80 \cdot 6 = 480$ (км)

Результаты совпадают.

Ответ: автобус ехал 8 часов, расстояние между городами равно 480 км.