Номер 6.175, страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите задачу (6.175—6.176).

6.175 а) Через 3 дня после того, как Пётр начал читать книгу, эту же книгу начал читать Алексей. Закончили чтение они одновременно. Пётр прочитывал по 10 страниц в день, а Алексей — по 16 страниц в день. Сколько страниц в книге?

б) Два студента взялись набрать рукопись, разделив её между собой на две равные части. Через 4 дня после того, как первый начал работу, к работе приступил второй. Закончили они работу одновременно. Первый студент набирал по 24 страницы в день, а второй — по 40 страниц. Сколько дней работал каждый студент и сколько страниц они набрали вместе?

а)

Пусть $x$ — это количество дней, в течение которых Алексей читал книгу. Поскольку Пётр начал читать на 3 дня раньше и закончили они одновременно, то Пётр читал книгу $x+3$ дня.

Скорость чтения Петра — 10 страниц в день. За всё время он прочитал $10 \cdot (x+3)$ страниц. Скорость чтения Алексея — 16 страниц в день. За своё время он прочитал $16x$ страниц.

Так как они читали одну и ту же книгу, то количество страниц, прочитанных каждым, равно общему количеству страниц в книге. Приравняем количество страниц, прочитанных Петром и Алексеем, чтобы найти $x$:

$10 \cdot (x+3) = 16x$

Раскроем скобки:

$10x + 30 = 16x$

Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону:

$16x - 10x = 30$

$6x = 30$

Найдём $x$:

$x = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Таким образом, Алексей читал книгу 5 дней. Чтобы найти, сколько страниц в книге, подставим значение $x=5$ в выражение для количества страниц, прочитанных Алексеем:

Всего страниц = $16 \cdot 5 = 80$ страниц.

Для проверки можно вычислить количество страниц, прочитанных Петром. Он читал $x+3 = 5+3 = 8$ дней. $10 \cdot 8 = 80$ страниц. Результаты совпадают.

Ответ: в книге 80 страниц.

б)

Пусть $t$ — это количество дней, которое работал второй студент. Первый студент начал на 4 дня раньше и закончили они одновременно, значит, он работал $t+4$ дня.

По условию, они разделили рукопись на две равные части. Это значит, что каждый из них набрал одинаковое количество страниц.

Первый студент набирал по 24 страницы в день, за $t+4$ дня он набрал $24 \cdot (t+4)$ страниц. Второй студент набирал по 40 страниц в день, за $t$ дней он набрал $40t$ страниц.

Приравняем объём работы, выполненной каждым студентом, чтобы найти $t$:

$24 \cdot (t+4) = 40t$

Раскроем скобки:

$24t + 96 = 40t$

Перенесём слагаемые с $t$ в одну сторону:

$40t - 24t = 96$

$16t = 96$

Найдём $t$:

$t = \frac{96}{16}$

$t = 6$

Итак, второй студент работал 6 дней. Первый студент работал $t+4 = 6+4 = 10$ дней.

Теперь найдём, сколько страниц они набрали вместе. Сначала вычислим, сколько страниц набрал каждый (количество должно быть одинаковым):

Работа первого студента: $24 \frac{\text{стр}}{\text{день}} \cdot 10 \text{ дней} = 240$ страниц.

Работа второго студента: $40 \frac{\text{стр}}{\text{день}} \cdot 6 \text{ дней} = 240$ страниц.

Общее количество страниц в рукописи: $240 + 240 = 480$ страниц.

Ответ: первый студент работал 10 дней, второй — 6 дней; вместе они набрали 480 страниц.