Номер 6.172, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.8. Решение задач с помощью уравнений. Глава 6. Многочлены - номер 6.172, страница 179.

Условие.

6.172 а) Лодка проплыла некоторое расстояние от пристани по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 8 ч. Собственная скорость лодки 8 $\text{км/ч}$, а скорость течения реки 2 $\text{км/ч}$. Определите, сколько времени плыла лодка по течению реки и чему равно всё расстояние, которое она проплыла.

б) Пловец плыл 10 мин по течению реки и 15 мин против течения и проплыл всего 2100 м. Определите собственную скорость пловца (в $\text{м/мин}$), если скорость течения реки 30 $\text{м/мин}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнения.

Пусть $t_1$ – время, которое лодка плыла по течению, а $t_2$ – время, которое она плыла против течения. По условию, общее время в пути составляет 8 часов: $t_1 + t_2 = 8$ ч.

Собственная скорость лодки $v_{л} = 8$ км/ч. Скорость течения реки $v_{т} = 2$ км/ч.

Скорость лодки по течению: $v_{по} = v_{л} + v_{т} = 8 + 2 = 10$ км/ч.

Скорость лодки против течения: $v_{против} = v_{л} - v_{т} = 8 - 2 = 6$ км/ч.

Лодка проплыла одинаковое расстояние от пристани и обратно. Обозначим это расстояние как $S$. $S = v_{по} \cdot t_1 = 10 \cdot t_1$ $S = v_{против} \cdot t_2 = 6 \cdot t_2$

Приравняем выражения для расстояния: $10 \cdot t_1 = 6 \cdot t_2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. $t_1 + t_2 = 8$ 2. $10 \cdot t_1 = 6 \cdot t_2$

Из первого уравнения выразим $t_2$: $t_2 = 8 - t_1$

Подставим это выражение во второе уравнение: $10 \cdot t_1 = 6 \cdot (8 - t_1)$ $10 \cdot t_1 = 48 - 6 \cdot t_1$ $10 \cdot t_1 + 6 \cdot t_1 = 48$ $16 \cdot t_1 = 48$ $t_1 = 48 / 16 = 3$ ч.

Таким образом, время, которое лодка плыла по течению, составляет 3 часа.

Теперь найдем расстояние, которое лодка проплыла в одну сторону: $S = v_{по} \cdot t_1 = 10 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 30$ км.

Общее расстояние, которое проплыла лодка, равно расстоянию туда и обратно: $S_{общ} = S + S = 30 + 30 = 60$ км.

Ответ: лодка плыла по течению 3 часа; всё расстояние, которое она проплыла, равно 60 км.

б)

Пусть собственная скорость пловца равна $v_c$ (в м/мин). Это значение нам нужно найти.

Скорость течения реки $v_т = 30$ м/мин. Время движения по течению $t_{по} = 10$ мин. Время движения против течения $t_{против} = 15$ мин. Общее расстояние $S_{общ} = 2100$ м.

Скорость пловца по течению: $v_{по} = v_c + v_т = v_c + 30$ м/мин.

Скорость пловца против течения: $v_{против} = v_c - v_т = v_c - 30$ м/мин.

Расстояние, которое пловец проплыл по течению: $S_{по} = v_{по} \cdot t_{по} = (v_c + 30) \cdot 10$

Расстояние, которое пловец проплыл против течения: $S_{против} = v_{против} \cdot t_{против} = (v_c - 30) \cdot 15$

Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных по течению и против течения: $S_{общ} = S_{по} + S_{против}$ $2100 = 10(v_c + 30) + 15(v_c - 30)$

Решим полученное уравнение: $2100 = 10v_c + 300 + 15v_c - 450$ $2100 = (10v_c + 15v_c) + (300 - 450)$ $2100 = 25v_c - 150$ $2100 + 150 = 25v_c$ $2250 = 25v_c$ $v_c = 2250 / 25$ $v_c = 90$ м/мин.

Ответ: собственная скорость пловца равна 90 м/мин.