Номер 3, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

■ По образцу примера 3 сделайте рисунок, моделирующий условие задачи, и составьте уравнение:

«Имеется кусок стекла, одна из сторон которого в 2 раза больше другой. Чтобы вставить его в оконную раму, его длину и ширину пришлось уменьшить на 20 см. Площадь обрезков составила $3800 \text{ см}^2$. Чему были равны первоначальные размеры стекла?»

Сделайте рисунок, моделирующий условие задачи

Чтобы смоделировать условие задачи, представим исходный кусок стекла как большой прямоугольник. Пусть его меньшая сторона (ширина) равна $x$ см, тогда, согласно условию, большая сторона (длина) будет $2x$ см. Внутри этого прямоугольника нарисуем второй, меньший прямоугольник — это стекло, которое вставили в раму. Его размеры получили, уменьшив каждую сторону исходного прямоугольника на 20 см, то есть его ширина равна $(x-20)$ см, а длина — $(2x-20)$ см. Область между контурами этих двух прямоугольников представляет собой обрезки, площадь которых нам известна.
Ответ: Рисунок представляет собой два прямоугольника, один в другом, где стороны внешнего равны $x$ и $2x$, а стороны внутреннего — $(x-20)$ и $(2x-20)$.

Составьте уравнение

Пусть $x$ см — первоначальная ширина куска стекла (меньшая сторона).
Тогда $2x$ см — его первоначальная длина (большая сторона).
Площадь первоначального куска стекла: $S_1 = x \cdot 2x = 2x^2$ см².

После уменьшения сторон на 20 см новые размеры составили:
Новая ширина: $(x-20)$ см.
Новая длина: $(2x-20)$ см.
Площадь стекла, вставленного в раму: $S_2 = (x-20)(2x-20)$ см².

Площадь обрезков — это разность между первоначальной площадью и новой площадью. По условию, она равна 3800 см². Составим уравнение:
$S_1 - S_2 = 3800$
$2x^2 - (x-20)(2x-20) = 3800$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в произведении:
$(x-20)(2x-20) = 2x^2 - 20x - 40x + 400 = 2x^2 - 60x + 400$

Подставим это выражение обратно в уравнение:
$2x^2 - (2x^2 - 60x + 400) = 3800$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри них на противоположные:
$2x^2 - 2x^2 + 60x - 400 = 3800$

Приведем подобные слагаемые:
$60x - 400 = 3800$

Перенесем -400 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$60x = 3800 + 400$
$60x = 4200$

Найдем $x$:
$x = \frac{4200}{60} = \frac{420}{6} = 70$

Итак, первоначальная ширина стекла равна 70 см.
Найдем первоначальную длину: $2x = 2 \cdot 70 = 140$ см.
Проверим, что размеры позволяют отрезать по 20 см: $70 > 20$ и $140 > 20$. Условие выполняется.
Ответ: Первоначальные размеры стекла были 70 см и 140 см.