Номер 6.165, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.7. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 6. Многочлены - номер 6.165, страница 175.

Условие.

6.165 Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, если:

a) $x + \frac{1}{x} = 2,5$;

б) $x - \frac{1}{x} = 2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы найти значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, зная, что $x + \frac{1}{x} = 2,5$, возведем обе части данного равенства в квадрат. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x + \frac{1}{x})^2 = (2,5)^2$
Применяя формулу, раскрываем левую часть:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 6,25$
Упрощаем средний член: $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$.
$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 6,25$
Теперь, чтобы найти $x^2 + \frac{1}{x^2}$, вычтем 2 из обеих частей уравнения:
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6,25 - 2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4,25$
Ответ: 4,25

б) Чтобы найти значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, зная, что $x - \frac{1}{x} = 2$, поступим аналогично. Возведем обе части данного равенства в квадрат, но на этот раз будем использовать формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(x - \frac{1}{x})^2 = 2^2$
Раскрываем левую часть по формуле:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 4$
Упрощаем средний член: $-2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = -2$.
$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 4$
Теперь, чтобы найти $x^2 + \frac{1}{x^2}$, прибавим 2 к обеим частям уравнения:
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$
Ответ: 6