Номер 6.163, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.163 а) $a^2 + 3ab + b^2$;

б) $x^2 + xy + y^2$;

В) $m^2 - mn + n^2$;

Г) $4a^2 + 5ac + c^2$.

В данной задаче требуется проверить, являются ли представленные трехчлены полными квадратами, то есть можно ли их представить в виде квадрата двучлена $(x \pm y)^2$. Формулы полного квадрата выглядят следующим образом:

• Квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
• Квадрат разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Проанализируем каждый трехчлен.

а) $a^2 + 3ab + b^2$

Чтобы данный трехчлен был полным квадратом, он должен соответствовать одной из формул. Первый член $a^2$ — это квадрат выражения $a$. Третий член $b^2$ — это квадрат выражения $b$. Средний член должен быть удвоенным произведением $a$ и $b$. Для квадрата суммы это $2 \cdot a \cdot b = 2ab$. В заданном выражении средний член равен $3ab$. Поскольку $3ab \neq 2ab$, данный трехчлен не является полным квадратом.

Ответ: Трехчлен $a^2 + 3ab + b^2$ не является полным квадратом, так как его средний член $3ab$ не равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов ($2ab$).

б) $x^2 + xy + y^2$

Проверим этот трехчлен по аналогии с предыдущим. Первый член $x^2$ — это квадрат $x$. Третий член $y^2$ — это квадрат $y$. Средний член для полного квадрата суммы должен быть $2 \cdot x \cdot y = 2xy$. В выражении средний член равен $xy$. Поскольку $xy \neq 2xy$, этот трехчлен не является полным квадратом.

Ответ: Трехчлен $x^2 + xy + y^2$ не является полным квадратом, так как его средний член $xy$ не равен $2xy$.

в) $m^2 - mn + n^2$

Это выражение похоже на формулу квадрата разности. Первый член $m^2$ — это квадрат $m$. Третий член $n^2$ — это квадрат $n$. Средний член для полного квадрата разности должен быть $-2 \cdot m \cdot n = -2mn$. В заданном выражении средний член равен $-mn$. Так как $-mn \neq -2mn$, данный трехчлен не является полным квадратом.

Ответ: Трехчлен $m^2 - mn + n^2$ не является полным квадратом, так как его средний член $-mn$ не равен $-2mn$.

г) $4a^2 + 5ac + c^2$

Проверим этот трехчлен на соответствие формуле квадрата суммы. Первый член $4a^2$ — это квадрат выражения $2a$, так как $(2a)^2 = 4a^2$. Третий член $c^2$ — это квадрат выражения $c$. Следовательно, средний член для полного квадрата должен быть $2 \cdot (2a) \cdot c = 4ac$. В заданном выражении средний член равен $5ac$. Поскольку $5ac \neq 4ac$, этот трехчлен не является полным квадратом.

Ответ: Трехчлен $4a^2 + 5ac + c^2$ не является полным квадратом, так как его средний член $5ac$ не равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов ($4ac$).