Номер 6.161, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.161 Докажите равенство:

а) $(a - 1)^2 + 2(a - 1) + 1 = a^2;$

б) $(1 - a)^2 + 2a(1 - a) + a^2 = 1;$

в) $(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4 = (x - 1)^2;$

г) $(x + y)^2 - 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2 = 4y^2.$

а) Чтобы доказать равенство $(a - 1)^2 + 2(a - 1) + 1 = a^2$, преобразуем его левую часть. Она представляет собой полный квадрат суммы, соответствующий формуле $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$, где $X = a-1$ и $Y = 1$.

Применим формулу:

$(a - 1)^2 + 2(a - 1) \cdot 1 + 1^2 = ((a - 1) + 1)^2$

Упростим выражение в скобках:

$((a - 1) + 1)^2 = (a - 1 + 1)^2 = a^2$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства.

Ответ: $a^2 = a^2$. Равенство доказано.

б) Чтобы доказать равенство $(1 - a)^2 + 2a(1 - a) + a^2 = 1$, преобразуем его левую часть. Это также полный квадрат суммы по формуле $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$, но здесь $X = 1-a$ и $Y = a$.

Применим формулу:

$(1 - a)^2 + 2(1 - a)a + a^2 = ((1 - a) + a)^2$

Упростим выражение в скобках:

$((1 - a) + a)^2 = (1 - a + a)^2 = 1^2 = 1$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства.

Ответ: $1 = 1$. Равенство доказано.

в) Чтобы доказать равенство $(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4 = (x - 1)^2$, преобразуем левую часть. Она является полным квадратом разности по формуле $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$, где $X = x+1$ и $Y = 2$ (поскольку $4=2^2$ и $4(x+1) = 2 \cdot (x+1) \cdot 2$).

Применим формулу:

$(x + 1)^2 - 2 \cdot (x+1) \cdot 2 + 2^2 = ((x + 1) - 2)^2$

Упростим выражение в скобках:

$((x + 1) - 2)^2 = (x + 1 - 2)^2 = (x - 1)^2$

Левая часть после преобразования равна правой части.

Ответ: $(x-1)^2 = (x-1)^2$. Равенство доказано.

г) Чтобы доказать равенство $(x + y)^2 - 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2 = 4y^2$, преобразуем левую часть. Она представляет собой полный квадрат разности по формуле $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$, где $A = x+y$ и $B = x-y$.

Применим формулу:

$((x + y) - (x - y))^2$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x + y - x + y)^2 = (2y)^2 = 4y^2$

Левая часть после преобразования равна правой части.

Ответ: $4y^2 = 4y^2$. Равенство доказано.