Номер 6.159, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.159 Представьте в виде квадрата двучлена:

a) $(2a + 3b)^2 - 8b(2a + b);$

б) $(3x - 2y)^2 + 5x(4y - x).$

а) $(2a + 3b)^2 - 8b(2a + b)$

Для решения этой задачи необходимо сначала раскрыть скобки, а затем сгруппировать подобные слагаемые. Полученный трехчлен нужно будет свернуть в квадрат двучлена, используя формулы сокращенного умножения.

1. Раскроем квадрат двучлена $(2a + 3b)^2$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом $-8b(2a + b)$:

$-8b(2a + b) = -8b \cdot 2a - 8b \cdot b = -16ab - 8b^2$

3. Теперь сложим полученные выражения:

$(4a^2 + 12ab + 9b^2) + (-16ab - 8b^2) = 4a^2 + 12ab + 9b^2 - 16ab - 8b^2$

4. Приведем подобные слагаемые:

$4a^2 + (12ab - 16ab) + (9b^2 - 8b^2) = 4a^2 - 4ab + b^2$

5. Полученное выражение $4a^2 - 4ab + b^2$ является полным квадратом разности. Представим его в виде квадрата двучлена, используя формулу $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$, где $x = 2a$ и $y = b$:

$4a^2 - 4ab + b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = (2a - b)^2$

Ответ: $(2a - b)^2$

б) $(3x - 2y)^2 + 5x(4y - x)$

Решение аналогично предыдущему пункту: раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и сворачиваем полученное выражение в квадрат двучлена.

1. Раскроем квадрат двучлена $(3x - 2y)^2$ по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x - 2y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом $5x(4y - x)$:

$5x(4y - x) = 5x \cdot 4y + 5x \cdot (-x) = 20xy - 5x^2$

3. Сложим полученные выражения:

$(9x^2 - 12xy + 4y^2) + (20xy - 5x^2) = 9x^2 - 12xy + 4y^2 + 20xy - 5x^2$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 5x^2) + (-12xy + 20xy) + 4y^2 = 4x^2 + 8xy + 4y^2$

5. Полученное выражение $4x^2 + 8xy + 4y^2$ является полным квадратом суммы. Представим его в виде квадрата двучлена, используя формулу $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, где $a = 2x$ и $b = 2y$:

$4x^2 + 8xy + 4y^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (2y) + (2y)^2 = (2x + 2y)^2$

Ответ: $(2x + 2y)^2$