Номер 6.158, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.158 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности, представьте в виде многочлена выражение:

a) $(a + b)^4$;

б) $(a - b)^4$.

а) Чтобы представить выражение $(a+b)^4$ в виде многочлена, воспользуемся свойством степени и представим его как квадрат квадрата:
$(a+b)^4 = ((a+b)^2)^2$
Сначала применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ для внутреннего выражения:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Теперь подставим полученный многочлен обратно в исходное выражение:
$((a+b)^2)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)^2$
Чтобы возвести в квадрат этот трехчлен, сгруппируем слагаемые и снова применим формулу квадрата суммы. Пусть $x = a^2 + b^2$ и $y = 2ab$:
$((a^2 + b^2) + 2ab)^2 = (a^2 + b^2)^2 + 2 \cdot (a^2 + b^2) \cdot (2ab) + (2ab)^2$
Раскроем каждое слагаемое по отдельности:
1. $(a^2 + b^2)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$
2. $2 \cdot (a^2 + b^2) \cdot (2ab) = 4ab(a^2 + b^2) = 4a^3b + 4ab^3$
3. $(2ab)^2 = 4a^2b^2$
Соберем все вместе и приведем подобные слагаемые:
$(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) + (4a^3b + 4ab^3) + 4a^2b^2 = a^4 + 4a^3b + (2a^2b^2 + 4a^2b^2) + 4ab^3 + b^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
Ответ: $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

б) Аналогично представим выражение $(a-b)^4$ как квадрат квадрата:
$(a-b)^4 = ((a-b)^2)^2$
Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Подставим результат обратно:
$((a-b)^2)^2 = (a^2 - 2ab + b^2)^2$
Снова возведем в квадрат трехчлен, сгруппировав слагаемые. Пусть $x = a^2 + b^2$ и $y = 2ab$. Воспользуемся формулой квадрата разности:
$((a^2 + b^2) - 2ab)^2 = (a^2 + b^2)^2 - 2 \cdot (a^2 + b^2) \cdot (2ab) + (2ab)^2$
Раскроем каждое слагаемое:
1. $(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$
2. $-2 \cdot (a^2 + b^2) \cdot (2ab) = -4ab(a^2 + b^2) = -4a^3b - 4ab^3$
3. $(2ab)^2 = 4a^2b^2$
Соберем все вместе и приведем подобные слагаемые:
$(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - (4a^3b + 4ab^3) + 4a^2b^2 = a^4 - 4a^3b + (2a^2b^2 + 4a^2b^2) - 4ab^3 + b^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$
Ответ: $a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$.