Номер 6.156, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.156 Выведите формулу куба суммы

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Пользуясь этой формулой, преобразуйте выражение:

а) $(x + y)^3$;

б) $(x + 2y)^3$.

Для вывода формулы куба суммы $(a+b)^3$ представим ее в виде произведения:

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2$

Воспользуемся известной формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Подставим это выражение в нашу формулу:

$(a+b)^3 = (a+b)(a^2+2ab+b^2)$

Теперь раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на второй многочлен:

$a(a^2+2ab+b^2) + b(a^2+2ab+b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2$

$a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b+a^2b) + (ab^2+2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Таким образом, формула куба суммы доказана: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Теперь применим эту формулу для преобразования выражений.

а) Преобразуем выражение $(x+y)^3$.

В данном случае $a=x$ и $b=y$. Подставляем эти значения в формулу куба суммы:

$(x+y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^2 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Ответ: $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

б) Преобразуем выражение $(x+2y)^3$.

В данном случае $a=x$ и $b=2y$. Подставляем эти значения в формулу куба суммы:

$(x+2y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 + (2y)^3$.

Выполним вычисления:

$x^3 + 3 \cdot 2 \cdot x^2y + 3 \cdot x \cdot 4y^2 + 8y^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$.

Ответ: $x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$.