Номер 6.149, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.7. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 6. Многочлены - номер 6.149, страница 173.

Условие.

6.149 Докажите, что $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab.$ Поясните это равенство с помощью рисунка 6.8.

Рис. 6.8

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Доказательство тождества $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$

Данное тождество можно доказать двумя способами: алгебраически и геометрически с помощью предоставленного рисунка.

1. Алгебраическое доказательство

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

Сначала раскроем квадрат суммы и квадрат разности:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй скобкой:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 0 + 4ab + 0 = 4ab$

В результате преобразования левая часть равенства стала равна $4ab$, что в точности совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ верно, что и требовалось доказать.

2. Объяснение с помощью рисунка 6.8

Равенство можно интерпретировать геометрически, вычислив площадь заштрихованной фигуры на рисунке двумя различными способами.

Способ I (через разность площадей). Левая часть равенства, $(a+b)^2 - (a-b)^2$, представляет собой разность площадей двух квадратов.

• Площадь большого квадрата: его сторона, согласно разметке на рисунке, равна $a+b$. Следовательно, его площадь $S_{большого} = (a+b)^2$.
• Площадь малого (незаштрихованного) квадрата: его сторона равна $a-b$. Это можно увидеть, например, если измерить его горизонтальную сторону: она равна ширине нижнего левого прямоугольника ($a$) минус ширина верхнего левого прямоугольника ($b$). Таким образом, площадь малого квадрата $S_{малого} = (a-b)^2$.

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей большого и малого квадратов: $S_{заштрих.} = S_{большого} - S_{малого} = (a+b)^2 - (a-b)^2$.

Способ II (через сумму площадей). Правая часть равенства, $4ab$, представляет собой площадь заштрихованной фигуры, вычисленную как сумму площадей ее частей.

• Заштрихованная область разделена на четыре прямоугольника, расположенных "вертушкой" вокруг центра.
• Согласно разметке на сторонах большого квадрата, два из этих прямоугольников имеют размеры $a \times b$, и два других — $b \times a$.
• Площадь каждого из этих четырех прямоугольников равна $ab$.

Следовательно, общая площадь заштрихованной фигуры равна сумме их площадей: $S_{заштрих.} = ab + ab + ab + ab = 4ab$.

Поскольку оба способа вычисляют площадь одной и той же фигуры, результаты должны быть равны. Таким образом, рисунок наглядно демонстрирует, что $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

Ответ: равенство объясняется тем, что обе его части являются математическим выражением площади одной и той же заштрихованной фигуры, вычисленной разными способами.