Номер 6.149, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, голубой, оранжевый с галочкой

ISBN: 978-5-09-106179-6

Популярные ГДЗ в 7 классе

Упражнения. 6.7. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 6. Многочлены - номер 6.149, страница 173.

№6.149 (с. 173)
Условие. №6.149 (с. 173)
скриншот условия
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 6.149, Условие Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 6.149, Условие (продолжение 2)

6.149 Докажите, что $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab.$ Поясните это равенство с помощью рисунка 6.8.

Рис. 6.8

Решение 2. №6.149 (с. 173)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 6.149, Решение 2
Решение 3. №6.149 (с. 173)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 6.149, Решение 3
Решение 5. №6.149 (с. 173)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 173, номер 6.149, Решение 5
Решение 6. №6.149 (с. 173)

Доказательство тождества $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$

Данное тождество можно доказать двумя способами: алгебраически и геометрически с помощью предоставленного рисунка.

1. Алгебраическое доказательство

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

Сначала раскроем квадрат суммы и квадрат разности:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй скобкой:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 0 + 4ab + 0 = 4ab$

В результате преобразования левая часть равенства стала равна $4ab$, что в точности совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ верно, что и требовалось доказать.

2. Объяснение с помощью рисунка 6.8

Равенство можно интерпретировать геометрически, вычислив площадь заштрихованной фигуры на рисунке двумя различными способами.

Способ I (через разность площадей). Левая часть равенства, $(a+b)^2 - (a-b)^2$, представляет собой разность площадей двух квадратов.

  • Площадь большого квадрата: его сторона, согласно разметке на рисунке, равна $a+b$. Следовательно, его площадь $S_{большого} = (a+b)^2$.
  • Площадь малого (незаштрихованного) квадрата: его сторона равна $a-b$. Это можно увидеть, например, если измерить его горизонтальную сторону: она равна ширине нижнего левого прямоугольника ($a$) минус ширина верхнего левого прямоугольника ($b$). Таким образом, площадь малого квадрата $S_{малого} = (a-b)^2$.

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей большого и малого квадратов: $S_{заштрих.} = S_{большого} - S_{малого} = (a+b)^2 - (a-b)^2$.

Способ II (через сумму площадей). Правая часть равенства, $4ab$, представляет собой площадь заштрихованной фигуры, вычисленную как сумму площадей ее частей.

  • Заштрихованная область разделена на четыре прямоугольника, расположенных "вертушкой" вокруг центра.
  • Согласно разметке на сторонах большого квадрата, два из этих прямоугольников имеют размеры $a \times b$, и два других — $b \times a$.
  • Площадь каждого из этих четырех прямоугольников равна $ab$.

Следовательно, общая площадь заштрихованной фигуры равна сумме их площадей: $S_{заштрих.} = ab + ab + ab + ab = 4ab$.

Поскольку оба способа вычисляют площадь одной и той же фигуры, результаты должны быть равны. Таким образом, рисунок наглядно демонстрирует, что $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

Ответ: равенство объясняется тем, что обе его части являются математическим выражением площади одной и той же заштрихованной фигуры, вычисленной разными способами.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 6.149 расположенного на странице 173 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.149 (с. 173), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.