Номер 6.149, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, голубой, оранжевый с галочкой
ISBN: 978-5-09-106179-6
Популярные ГДЗ в 7 классе
Упражнения. 6.7. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 6. Многочлены - номер 6.149, страница 173.
№6.149 (с. 173)
Условие. №6.149 (с. 173)
скриншот условия


6.149 Докажите, что $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab.$ Поясните это равенство с помощью рисунка 6.8.
Рис. 6.8
Решение 2. №6.149 (с. 173)

Решение 3. №6.149 (с. 173)

Решение 5. №6.149 (с. 173)

Решение 6. №6.149 (с. 173)
Доказательство тождества $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$
Данное тождество можно доказать двумя способами: алгебраически и геометрически с помощью предоставленного рисунка.
1. Алгебраическое доказательство
Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
Сначала раскроем квадрат суммы и квадрат разности:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:
$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй скобкой:
$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 0 + 4ab + 0 = 4ab$
В результате преобразования левая часть равенства стала равна $4ab$, что в точности совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: тождество $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ верно, что и требовалось доказать.
2. Объяснение с помощью рисунка 6.8
Равенство можно интерпретировать геометрически, вычислив площадь заштрихованной фигуры на рисунке двумя различными способами.
Способ I (через разность площадей). Левая часть равенства, $(a+b)^2 - (a-b)^2$, представляет собой разность площадей двух квадратов.
- Площадь большого квадрата: его сторона, согласно разметке на рисунке, равна $a+b$. Следовательно, его площадь $S_{большого} = (a+b)^2$.
- Площадь малого (незаштрихованного) квадрата: его сторона равна $a-b$. Это можно увидеть, например, если измерить его горизонтальную сторону: она равна ширине нижнего левого прямоугольника ($a$) минус ширина верхнего левого прямоугольника ($b$). Таким образом, площадь малого квадрата $S_{малого} = (a-b)^2$.
Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей большого и малого квадратов: $S_{заштрих.} = S_{большого} - S_{малого} = (a+b)^2 - (a-b)^2$.
Способ II (через сумму площадей). Правая часть равенства, $4ab$, представляет собой площадь заштрихованной фигуры, вычисленную как сумму площадей ее частей.
- Заштрихованная область разделена на четыре прямоугольника, расположенных "вертушкой" вокруг центра.
- Согласно разметке на сторонах большого квадрата, два из этих прямоугольников имеют размеры $a \times b$, и два других — $b \times a$.
- Площадь каждого из этих четырех прямоугольников равна $ab$.
Следовательно, общая площадь заштрихованной фигуры равна сумме их площадей: $S_{заштрих.} = ab + ab + ab + ab = 4ab$.
Поскольку оба способа вычисляют площадь одной и той же фигуры, результаты должны быть равны. Таким образом, рисунок наглядно демонстрирует, что $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.
Ответ: равенство объясняется тем, что обе его части являются математическим выражением площади одной и той же заштрихованной фигуры, вычисленной разными способами.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 6.149 расположенного на странице 173 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.149 (с. 173), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.