Номер 6.144, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.144 Упростите выражение:

а) $(x + 4)^2 - 7x;$
б) $(c - 1)^2 - (1 - 2c);$
в) $(x - y)^2 + x(y - x);$
г) $(a + b)^2 - 2b(a - b);$
д) $9m^2 - (n - 3m)^2;$
е) $(a^2 + b^2) - (a - b)^2;$
ж) $z(5 - z) + (z - 5)^2;$
з) $3u(u + 2) - (u + 3)^2.$

а) $(x + 4)^2 - 7x$
Для упрощения этого выражения сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$x^2 + 8x + 16 - 7x$.
Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$):
$x^2 + (8x - 7x) + 16 = x^2 + x + 16$.
Ответ: $x^2 + x + 16$.

б) $(c - 1)^2 - (1 - 2c)$
Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(c - 1)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 1 + 1^2 = c^2 - 2c + 1$.
Раскроем вторую скобку, поменяв знаки на противоположные из-за минуса перед ней:
$-(1 - 2c) = -1 + 2c$.
Объединим полученные выражения:
$c^2 - 2c + 1 - 1 + 2c$.
Приведем подобные слагаемые:
$c^2 + (-2c + 2c) + (1 - 1) = c^2$.
Ответ: $c^2$.

в) $(x - y)^2 + x(y - x)$
Раскроем квадрат разности:
$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Раскроем вторую скобку, умножив $x$ на каждый член в ней:
$x(y - x) = xy - x^2$.
Сложим полученные выражения:
$(x^2 - 2xy + y^2) + (xy - x^2)$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-2xy + xy) + y^2 = y^2 - xy$.
Ответ: $y^2 - xy$.

г) $(a + b)^2 - 2b(a - b)$
Раскроем квадрат суммы:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем вторую часть выражения, умножив $-2b$ на каждый член в скобке:
$-2b(a - b) = -2ab + 2b^2$.
Сложим полученные выражения:
$a^2 + 2ab + b^2 - 2ab + 2b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (2ab - 2ab) + (b^2 + 2b^2) = a^2 + 3b^2$.
Ответ: $a^2 + 3b^2$.

д) $9m^2 - (n - 3m)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=n$ и $b=3m$.
$(n - 3m)^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot (3m) + (3m)^2 = n^2 - 6mn + 9m^2$.
Подставим это в исходное выражение. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки меняются на противоположные:
$9m^2 - (n^2 - 6mn + 9m^2) = 9m^2 - n^2 + 6mn - 9m^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9m^2 - 9m^2) + 6mn - n^2 = 6mn - n^2$.
Ответ: $6mn - n^2$.

е) $(a^2 + b^2) - (a - b)^2$
Раскроем вторую скобку по формуле квадрата разности:
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Подставим результат в исходное выражение и раскроем скобки, меняя знаки:
$(a^2 + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + 2ab = 2ab$.
Ответ: $2ab$.

ж) $z(5 - z) + (z - 5)^2$
Раскроем первую скобку:
$z(5 - z) = 5z - z^2$.
Раскроем вторую скобку по формуле квадрата разности:
$(z - 5)^2 = z^2 - 2 \cdot z \cdot 5 + 5^2 = z^2 - 10z + 25$.
Сложим полученные выражения:
$(5z - z^2) + (z^2 - 10z + 25) = 5z - z^2 + z^2 - 10z + 25$.
Приведем подобные слагаемые:
$(-z^2 + z^2) + (5z - 10z) + 25 = -5z + 25$.
Ответ: $25 - 5z$.

з) $3u(u + 2) - (u + 3)^2$
Раскроем первую скобку, умножив $3u$ на каждый член в ней:
$3u(u + 2) = 3u^2 + 6u$.
Раскроем вторую скобку по формуле квадрата суммы:
$(u + 3)^2 = u^2 + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^2 = u^2 + 6u + 9$.
Подставим результаты в исходное выражение, не забывая поменять знаки во второй скобке:
$(3u^2 + 6u) - (u^2 + 6u + 9) = 3u^2 + 6u - u^2 - 6u - 9$.
Приведем подобные слагаемые:
$(3u^2 - u^2) + (6u - 6u) - 9 = 2u^2 - 9$.
Ответ: $2u^2 - 9$.