Номер 6.141, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.141 Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

а) $a^2 + 2a + 1;$

б) $x^2 - 2x + 1;$

в) $y^2 + 10y + 25;$

г) $4 - 20c + 25c^2;$

д) $a^2 - 6ab + 9b^2;$

е) $4x^2 + 4xy + y^2;$

ж) $81z^2 - 18az + a^2;$

з) $9n^2 + 12mn + 4m^2;$

и) $a^2b^2 + 2ab + 1;$

к) $x^4 - 2x^2 + 1;$

л) $y^6 + 2y^3 + 1;$

м) $a^4 - 2a^2b + b^2.$

Для того чтобы представить каждый трехчлен в виде квадрата двучлена, мы будем использовать формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
• Квадрат разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

Для каждого выражения мы определим, подходит ли оно под одну из этих формул, найдем соответствующие значения для $A$ и $B$ и запишем результат.

а) Трехчлен $a^2 + 2a + 1$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = a^2$, откуда $A=a$.
$B^2 = 1$, откуда $B=1$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$.
Так как все члены совпадают, мы можем записать: $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.
Ответ: $(a+1)^2$.

б) Трехчлен $x^2 - 2x + 1$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = x^2$, значит $A=x$.
$B^2 = 1$, значит $B=1$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot x \cdot 1 = -2x$.
Все члены совпадают. Следовательно: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Ответ: $(x-1)^2$.

в) Трехчлен $y^2 + 10y + 25$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = y^2$, значит $A=y$.
$B^2 = 25$, значит $B=5$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot y \cdot 5 = 10y$.
Все члены совпадают. Следовательно: $y^2 + 10y + 25 = (y+5)^2$.
Ответ: $(y+5)^2$.

г) Трехчлен $4 - 20c + 25c^2$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 4$, значит $A=2$.
$B^2 = 25c^2$, значит $B=5c$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot 2 \cdot 5c = -20c$.
Все члены совпадают. Следовательно: $4 - 20c + 25c^2 = (2 - 5c)^2$.
Ответ: $(2 - 5c)^2$.

д) Трехчлен $a^2 - 6ab + 9b^2$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = a^2$, значит $A=a$.
$B^2 = 9b^2$, значит $B=3b$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot a \cdot 3b = -6ab$.
Все члены совпадают. Следовательно: $a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$.
Ответ: $(a - 3b)^2$.

е) Трехчлен $4x^2 + 4xy + y^2$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 4x^2$, значит $A=2x$.
$B^2 = y^2$, значит $B=y$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot 2x \cdot y = 4xy$.
Все члены совпадают. Следовательно: $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$.
Ответ: $(2x + y)^2$.

ж) Трехчлен $81z^2 - 18az + a^2$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 81z^2$, значит $A=9z$.
$B^2 = a^2$, значит $B=a$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot 9z \cdot a = -18az$.
Все члены совпадают. Следовательно: $81z^2 - 18az + a^2 = (9z - a)^2$.
Ответ: $(9z - a)^2$.

з) Трехчлен $9n^2 + 12mn + 4m^2$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 9n^2$, значит $A=3n$.
$B^2 = 4m^2$, значит $B=2m$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot 3n \cdot 2m = 12mn$.
Все члены совпадают. Следовательно: $9n^2 + 12mn + 4m^2 = (3n + 2m)^2$.
Ответ: $(3n + 2m)^2$.

и) Трехчлен $a^2b^2 + 2ab + 1$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = a^2b^2 = (ab)^2$, значит $A=ab$.
$B^2 = 1$, значит $B=1$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot ab \cdot 1 = 2ab$.
Все члены совпадают. Следовательно: $a^2b^2 + 2ab + 1 = (ab + 1)^2$.
Ответ: $(ab + 1)^2$.

к) Трехчлен $x^4 - 2x^2 + 1$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = x^4 = (x^2)^2$, значит $A=x^2$.
$B^2 = 1$, значит $B=1$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot x^2 \cdot 1 = -2x^2$.
Все члены совпадают. Следовательно: $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2$.
Ответ: $(x^2 - 1)^2$.

л) Трехчлен $y^6 + 2y^3 + 1$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = y^6 = (y^3)^2$, значит $A=y^3$.
$B^2 = 1$, значит $B=1$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot y^3 \cdot 1 = 2y^3$.
Все члены совпадают. Следовательно: $y^6 + 2y^3 + 1 = (y^3 + 1)^2$.
Ответ: $(y^3 + 1)^2$.

м) Трехчлен $a^4 - 2a^2b + b^2$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = a^4 = (a^2)^2$, значит $A=a^2$.
$B^2 = b^2$, значит $B=b$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot a^2 \cdot b = -2a^2b$.
Все члены совпадают. Следовательно: $a^4 - 2a^2b + b^2 = (a^2 - b)^2$.
Ответ: $(a^2 - b)^2$.