Номер 6.143, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.143 Подберите такое k, чтобы трёхчлен был равен квадрату двучлена:

а) $a^2 - 2a + k;$

б) $x^2 + 6x + k;$

в) $m^2 + km + 16;$

г) $y^2 + ky + 25;$

д) $k - 6n + n^2;$

е) $k + 8ab + b^2.$

Чтобы трёхчлен был равен квадрату двучлена, он должен соответствовать одной из формул сокращённого умножения:
Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) $a^2 - 2a + k$

Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Сравнивая с выражением $a^2 - 2a + k$, видим, что первый член $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $x = a$.
Средний член, удвоенное произведение $-2xy$, соответствует $-2a$. Подставив $x=a$, получаем $-2ay = -2a$. Отсюда следует, что $y = 1$.
Третий член $k$ должен быть равен квадрату второго члена, то есть $y^2$.
$k = y^2 = 1^2 = 1$.
При $k=1$ трёхчлен становится $a^2 - 2a + 1$, что равно $(a-1)^2$.
Ответ: $k = 1$.

б) $x^2 + 6x + k$

Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Первый член $a^2$ соответствует $x^2$, значит $a = x$.
Средний член $2ab$ соответствует $6x$. Подставив $a=x$, получаем $2xb = 6x$. Разделив обе части на $2x$, находим $b = 3$.
Третий член $k$ должен быть равен $b^2$.
$k = b^2 = 3^2 = 9$.
При $k=9$ трёхчлен становится $x^2 + 6x + 9$, что равно $(x+3)^2$.
Ответ: $k = 9$.

в) $m^2 + km + 16$

Применим формулу квадрата суммы или разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Первый член $a^2$ соответствует $m^2$, значит $a = m$.
Третий член $b^2$ соответствует $16$, значит $b = \sqrt{16} = 4$.
Средний член $km$ должен быть равен удвоенному произведению $\pm 2ab$.
$km = \pm 2 \cdot m \cdot 4 = \pm 8m$.
Следовательно, $k$ может быть равен $8$ или $-8$.
При $k=8$ получаем $m^2 + 8m + 16 = (m+4)^2$.
При $k=-8$ получаем $m^2 - 8m + 16 = (m-4)^2$.
Ответ: $k = 8$ или $k = -8$.

г) $y^2 + ky + 25$

Применим формулу квадрата суммы или разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Первый член $a^2$ соответствует $y^2$, значит $a = y$.
Третий член $b^2$ соответствует $25$, значит $b = \sqrt{25} = 5$.
Средний член $ky$ должен быть равен удвоенному произведению $\pm 2ab$.
$ky = \pm 2 \cdot y \cdot 5 = \pm 10y$.
Следовательно, $k$ может быть равен $10$ или $-10$.
При $k=10$ получаем $y^2 + 10y + 25 = (y+5)^2$.
При $k=-10$ получаем $y^2 - 10y + 25 = (y-5)^2$.
Ответ: $k = 10$ или $k = -10$.

д) $k - 6n + n^2$

Перепишем выражение в стандартном порядке: $n^2 - 6n + k$.
Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член $a^2$ соответствует $n^2$, значит $a = n$.
Средний член $-2ab$ соответствует $-6n$. Подставив $a=n$, получаем $-2nb = -6n$. Отсюда $b = 3$.
Свободный член $k$ должен быть равен $b^2$.
$k = b^2 = 3^2 = 9$.
При $k=9$ трёхчлен становится $n^2 - 6n + 9$, что равно $(n-3)^2$.
Ответ: $k = 9$.

е) $k + 8ab + b^2$

Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Один из квадратов, $y^2$, соответствует $b^2$, значит $y=b$.
Удвоенное произведение $2xy$ соответствует $8ab$. Подставив $y=b$, получаем $2xb = 8ab$. Отсюда $2x = 8a$, и $x = 4a$.
Член $k$ должен быть равен квадрату первого члена, то есть $x^2$.
$k = x^2 = (4a)^2 = 16a^2$.
При $k=16a^2$ трёхчлен становится $16a^2 + 8ab + b^2$, что равно $(4a+b)^2$.
Ответ: $k = 16a^2$.