Номер 6.146, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.146 Решите уравнение:

a) $(x + 3)^2 - x^2 = 33;$

б) $x^2 - (x - 5)^2 = 10;$

В) $(x + 12)^2 = x(x + 8);$

Г) $(x - 3)(x + 1) = (x - 2)^2.$

а) Исходное уравнение: $(x + 3)^2 - x^2 = 33$.
Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - x^2 = 33$
$x^2 + 6x + 9 - x^2 = 33$
Приведем подобные слагаемые. Члены $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются.
$6x + 9 = 33$
Перенесем свободный член 9 в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$6x = 33 - 9$
$6x = 24$
Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $x$.
$x = \frac{24}{6}$
$x = 4$

Ответ: $4$.

б) Исходное уравнение: $x^2 - (x - 5)^2 = 10$.
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$x^2 - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) = 10$
$x^2 - (x^2 - 10x + 25) = 10$
Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус.
$x^2 - x^2 + 10x - 25 = 10$
Приведем подобные слагаемые. Члены $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются.
$10x - 25 = 10$
Перенесем свободный член -25 в правую часть с противоположным знаком.
$10x = 10 + 25$
$10x = 35$
Разделим обе части уравнения на 10.
$x = \frac{35}{10}$
$x = 3.5$

Ответ: $3.5$.

в) Исходное уравнение: $(x + 12)^2 = x(x + 8)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы, в правой — распределительный закон.
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2 = x \cdot x + x \cdot 8$
$x^2 + 24x + 144 = x^2 + 8x$
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую. Член $x^2$ есть в обеих частях, поэтому он сокращается.
$24x + 144 - 8x - x^2 = 0$
$24x - 8x = -144$
Приведем подобные слагаемые.
$16x = -144$
Разделим обе части уравнения на 16.
$x = \frac{-144}{16}$
$x = -9$

Ответ: $-9$.

г) Исходное уравнение: $(x - 3)(x + 1) = (x - 2)^2$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части перемножим многочлены, в правой — используем формулу квадрата разности.
$x \cdot x + x \cdot 1 - 3 \cdot x - 3 \cdot 1 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2$
$x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 4x + 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$x^2 - 2x - 3 = x^2 - 4x + 4$
Член $x^2$ есть в обеих частях, поэтому он сокращается.
$-2x - 3 = -4x + 4$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую.
$-2x + 4x = 4 + 3$
Приведем подобные слагаемые.
$2x = 7$
Разделим обе части на 2.
$x = \frac{7}{2}$
$x = 3.5$

Ответ: $3.5$.