Номер 6.148, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.148 МОДЕЛИРУЕМ Проиллюстрируйте с помощью рисунка 6.7 формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$a$

$a - b$

$b$

$ab$

$b^2$

Рис. 6.7

Данный рисунок геометрически иллюстрирует формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Рассмотрим большой квадрат со стороной $a$. Его полная площадь равна $a \times a = a^2$. Наша цель — выразить площадь квадрата со стороной $(a-b)$, который на рисунке заштрихован по диагонали. Площадь этого искомого квадрата равна $(a-b)^2$.

Чтобы найти эту площадь, можно из площади большого квадрата ($a^2$) вычесть площади двух пересекающихся прямоугольных полос: вертикальной полосы справа (со сторонами $a$ и $b$, площадью $ab$) и горизонтальной полосы снизу (также со сторонами $a$ и $b$, площадью $ab$).

При таком вычитании ($a^2 - ab - ab$) маленький квадрат в правом нижнем углу со стороной $b$ (и площадью $b^2$) оказывается вычтенным дважды, так как он является областью пересечения этих двух полос. Чтобы компенсировать это двойное вычитание, его площадь нужно один раз прибавить обратно.

В результате мы получаем следующее выражение для площади искомого квадрата:

$(a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2$

Упростив правую часть, мы приходим к итоговой формуле:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, рисунок наглядно доказывает справедливость данной формулы.

Ответ: Рисунок иллюстрирует, что площадь квадрата со стороной $(a-b)$ можно найти, если из площади большого квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$) вычесть два прямоугольника площадью $ab$ каждый. Поскольку при этом их общая часть — квадрат со стороной $b$ (площадь $b^2$) — вычитается дважды, для корректного расчета ее нужно один раз прибавить. В результате получается выражение: $(a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.