Номер 6.150, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.7. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 6. Многочлены - номер 6.150, страница 173.

Условие.

6.150 Докажите, что $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$. Поясните это равенство с помощью рисунка 6.9.

Рис. 6.9

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Доказательство

Чтобы доказать равенство $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$, преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы и квадратом разности.

Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Теперь подставим раскрытые скобки в левую часть исходного выражения:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

Сгруппируем и приведем подобные члены. Слагаемые $2ab$ и $-2ab$ взаимно уничтожаются:

$a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + 2ab - 2ab = 2a^2 + 2b^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a^2 + b^2)$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ доказано.

Пояснение с помощью рисунка

Рассмотрим рисунок 6.9. Закрашенная фигура на нем образована двумя наложенными друг на друга квадратами со стороной $a$. Один квадрат примыкает к левому верхнему углу, а другой — к правому нижнему. Площадь этой закрашенной фигуры можно вычислить двумя различными способами.

Способ 1: Сумма площадей двух квадратов за вычетом их пересечения.

Сумма площадей двух квадратов со стороной $a$ равна $a^2 + a^2 = 2a^2$. Они пересекаются в центре, образуя заштрихованный перекрестной штриховкой квадрат. Длина стороны этого центрального квадрата равна $(a-b)$, а его площадь, соответственно, равна $(a-b)^2$. Чтобы найти площадь объединенной фигуры, нужно из суммы площадей вычесть площадь их пересечения (так как мы посчитали ее дважды):

$S_{закраш.} = 2a^2 - (a - b)^2$

Способ 2: Площадь большого квадрата за вычетом незакрашенных частей.

Вся фигура вписана в большой квадрат, сторона которого равна сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $(a+b)$. Его площадь равна $(a+b)^2$. Внутри этого большого квадрата есть две незакрашенные области — это два маленьких квадрата в правом верхнем и левом нижнем углах. Сторона каждого из этих квадратов равна $b$, а их общая площадь составляет $b^2 + b^2 = 2b^2$. Площадь закрашенной фигуры равна площади большого квадрата минус площадь незакрашенных частей:

$S_{закраш.} = (a+b)^2 - 2b^2$

Вывод:

Поскольку оба способа вычисляют площадь одной и той же фигуры, мы можем приравнять полученные выражения:

$2a^2 - (a - b)^2 = (a + b)^2 - 2b^2$

Перенесем $(a-b)^2$ в правую часть, а $2b^2$ в левую часть, поменяв их знаки:

$2a^2 + 2b^2 = (a + b)^2 + (a - b)^2$

Это и есть тождество, которое нужно было объяснить. Таким образом, рисунок геометрически иллюстрирует данное равенство.

Ответ: Равенство геометрически проиллюстрировано через вычисление площади закрашенной фигуры на рисунке 6.9 двумя различными способами.