Номер 6.147, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.147 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $(a+b)^2 - 2ab = a^2 + b^2$;

б) $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$;

в) $a(a+b) + b(a+b) = (a+b)^2$;

г) $(a-b)^2 = a(a-b) - b(a-b).

а) Чтобы доказать тождество $(a + b)^2 - 2ab = a^2 + b^2$, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства:
$(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab$.
Теперь приведем подобные слагаемые ( $2ab$ и $-2ab$ взаимно уничтожаются):
$a^2 + 2ab - 2ab + b^2 = a^2 + b^2$.
В результате преобразований мы получили выражение, идентичное правой части тождества: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$. Тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать тождество $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$, преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Подставим полученное выражение в правую часть исходного равенства:
$(a - b)^2 + 2ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 2ab$.
Теперь приведем подобные слагаемые ( $-2ab$ и $2ab$ взаимно уничтожаются):
$a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2$.
В результате преобразований мы получили выражение, идентичное левой части тождества: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$. Тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать тождество $a(a + b) + b(a + b) = (a + b)^2$, преобразуем его левую часть. Заметим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(a+b)$. Вынесем его за скобки:
$a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b)$.
Произведение двух одинаковых множителей равно квадрату этого множителя:
$(a + b)(a + b) = (a + b)^2$.
В результате преобразований левая часть стала равна правой: $(a + b)^2 = (a + b)^2$. Тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать тождество $(a - b)^2 = a(a - b) - b(a - b)$, преобразуем его правую часть. Заметим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(a-b)$. Вынесем его за скобки:
$a(a - b) - b(a - b) = (a - b)(a - b)$.
Произведение двух одинаковых множителей равно квадрату этого множителя:
$(a - b)(a - b) = (a - b)^2$.
В результате преобразований правая часть стала равна левой: $(a - b)^2 = (a - b)^2$. Тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.