Страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.144 Упростите выражение:

а) $(x + 4)^2 - 7x;$
б) $(c - 1)^2 - (1 - 2c);$
в) $(x - y)^2 + x(y - x);$
г) $(a + b)^2 - 2b(a - b);$
д) $9m^2 - (n - 3m)^2;$
е) $(a^2 + b^2) - (a - b)^2;$
ж) $z(5 - z) + (z - 5)^2;$
з) $3u(u + 2) - (u + 3)^2.$

а) $(x + 4)^2 - 7x$
Для упрощения этого выражения сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$x^2 + 8x + 16 - 7x$.
Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$):
$x^2 + (8x - 7x) + 16 = x^2 + x + 16$.
Ответ: $x^2 + x + 16$.

б) $(c - 1)^2 - (1 - 2c)$
Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(c - 1)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 1 + 1^2 = c^2 - 2c + 1$.
Раскроем вторую скобку, поменяв знаки на противоположные из-за минуса перед ней:
$-(1 - 2c) = -1 + 2c$.
Объединим полученные выражения:
$c^2 - 2c + 1 - 1 + 2c$.
Приведем подобные слагаемые:
$c^2 + (-2c + 2c) + (1 - 1) = c^2$.
Ответ: $c^2$.

в) $(x - y)^2 + x(y - x)$
Раскроем квадрат разности:
$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Раскроем вторую скобку, умножив $x$ на каждый член в ней:
$x(y - x) = xy - x^2$.
Сложим полученные выражения:
$(x^2 - 2xy + y^2) + (xy - x^2)$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-2xy + xy) + y^2 = y^2 - xy$.
Ответ: $y^2 - xy$.

г) $(a + b)^2 - 2b(a - b)$
Раскроем квадрат суммы:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем вторую часть выражения, умножив $-2b$ на каждый член в скобке:
$-2b(a - b) = -2ab + 2b^2$.
Сложим полученные выражения:
$a^2 + 2ab + b^2 - 2ab + 2b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (2ab - 2ab) + (b^2 + 2b^2) = a^2 + 3b^2$.
Ответ: $a^2 + 3b^2$.

д) $9m^2 - (n - 3m)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=n$ и $b=3m$.
$(n - 3m)^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot (3m) + (3m)^2 = n^2 - 6mn + 9m^2$.
Подставим это в исходное выражение. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки меняются на противоположные:
$9m^2 - (n^2 - 6mn + 9m^2) = 9m^2 - n^2 + 6mn - 9m^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9m^2 - 9m^2) + 6mn - n^2 = 6mn - n^2$.
Ответ: $6mn - n^2$.

е) $(a^2 + b^2) - (a - b)^2$
Раскроем вторую скобку по формуле квадрата разности:
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Подставим результат в исходное выражение и раскроем скобки, меняя знаки:
$(a^2 + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + 2ab = 2ab$.
Ответ: $2ab$.

ж) $z(5 - z) + (z - 5)^2$
Раскроем первую скобку:
$z(5 - z) = 5z - z^2$.
Раскроем вторую скобку по формуле квадрата разности:
$(z - 5)^2 = z^2 - 2 \cdot z \cdot 5 + 5^2 = z^2 - 10z + 25$.
Сложим полученные выражения:
$(5z - z^2) + (z^2 - 10z + 25) = 5z - z^2 + z^2 - 10z + 25$.
Приведем подобные слагаемые:
$(-z^2 + z^2) + (5z - 10z) + 25 = -5z + 25$.
Ответ: $25 - 5z$.

з) $3u(u + 2) - (u + 3)^2$
Раскроем первую скобку, умножив $3u$ на каждый член в ней:
$3u(u + 2) = 3u^2 + 6u$.
Раскроем вторую скобку по формуле квадрата суммы:
$(u + 3)^2 = u^2 + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^2 = u^2 + 6u + 9$.
Подставим результаты в исходное выражение, не забывая поменять знаки во второй скобке:
$(3u^2 + 6u) - (u^2 + 6u + 9) = 3u^2 + 6u - u^2 - 6u - 9$.
Приведем подобные слагаемые:
$(3u^2 - u^2) + (6u - 6u) - 9 = 2u^2 - 9$.
Ответ: $2u^2 - 9$.

6.145 Преобразуйте в многочлен:

а) $2(a - 3)^2$;

б) $3(x + y)^2$;

в) $-5(1 - 2c)^2$;

г) $-4(3m + n)^2$;

д) $0,1(a + 5)^2$;

е) $-\frac{1}{2}(2u - v)^2$.

а) Для преобразования выражения $2(a - 3)^2$ в многочлен, сначала воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

1. Раскроем скобки, возведя в квадрат выражение $(a - 3)$:

$(a - 3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$

2. Теперь умножим каждый член полученного многочлена на 2:

$2(a^2 - 6a + 9) = 2 \cdot a^2 - 2 \cdot 6a + 2 \cdot 9 = 2a^2 - 12a + 18$

Ответ: $2a^2 - 12a + 18$

б) Для преобразования выражения $3(x + y)^2$ в многочлен, сначала воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

1. Раскроем скобки, возведя в квадрат выражение $(x + y)$:

$(x + y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot y + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$

2. Теперь умножим каждый член полученного многочлена на 3:

$3(x^2 + 2xy + y^2) = 3 \cdot x^2 + 3 \cdot 2xy + 3 \cdot y^2 = 3x^2 + 6xy + 3y^2$

Ответ: $3x^2 + 6xy + 3y^2$

в) Для преобразования выражения $-5(1 - 2c)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1. Раскроем скобки, возведя в квадрат выражение $(1 - 2c)$:

$(1 - 2c)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2c + (2c)^2 = 1 - 4c + 4c^2$

2. Теперь умножим каждый член полученного многочлена на -5:

$-5(1 - 4c + 4c^2) = -5 \cdot 1 - 5 \cdot (-4c) - 5 \cdot 4c^2 = -5 + 20c - 20c^2$

Запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной c):

$-20c^2 + 20c - 5$

Ответ: $-20c^2 + 20c - 5$

г) Для преобразования выражения $-4(3m + n)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

1. Раскроем скобки, возведя в квадрат выражение $(3m + n)$:

$(3m + n)^2 = (3m)^2 + 2 \cdot 3m \cdot n + n^2 = 9m^2 + 6mn + n^2$

2. Теперь умножим каждый член полученного многочлена на -4:

$-4(9m^2 + 6mn + n^2) = -4 \cdot 9m^2 - 4 \cdot 6mn - 4 \cdot n^2 = -36m^2 - 24mn - 4n^2$

Ответ: $-36m^2 - 24mn - 4n^2$

д) Для преобразования выражения $0,1(a + 5)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

1. Раскроем скобки, возведя в квадрат выражение $(a + 5)$:

$(a + 5)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 + 10a + 25$

2. Теперь умножим каждый член полученного многочлена на 0,1:

$0,1(a^2 + 10a + 25) = 0,1 \cdot a^2 + 0,1 \cdot 10a + 0,1 \cdot 25 = 0,1a^2 + a + 2,5$

Ответ: $0,1a^2 + a + 2,5$

е) Для преобразования выражения $-\frac{1}{2}(2u - v)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1. Раскроем скобки, возведя в квадрат выражение $(2u - v)$:

$(2u - v)^2 = (2u)^2 - 2 \cdot 2u \cdot v + v^2 = 4u^2 - 4uv + v^2$

2. Теперь умножим каждый член полученного многочлена на $-\frac{1}{2}$:

$-\frac{1}{2}(4u^2 - 4uv + v^2) = -\frac{1}{2} \cdot 4u^2 - (-\frac{1}{2} \cdot 4uv) + (-\frac{1}{2} \cdot v^2) = -2u^2 + 2uv - \frac{1}{2}v^2$

Ответ: $-2u^2 + 2uv - \frac{1}{2}v^2$

6.146 Решите уравнение:

a) $(x + 3)^2 - x^2 = 33;$

б) $x^2 - (x - 5)^2 = 10;$

В) $(x + 12)^2 = x(x + 8);$

Г) $(x - 3)(x + 1) = (x - 2)^2.$

а) Исходное уравнение: $(x + 3)^2 - x^2 = 33$.
Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - x^2 = 33$
$x^2 + 6x + 9 - x^2 = 33$
Приведем подобные слагаемые. Члены $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются.
$6x + 9 = 33$
Перенесем свободный член 9 в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$6x = 33 - 9$
$6x = 24$
Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $x$.
$x = \frac{24}{6}$
$x = 4$

Ответ: $4$.

б) Исходное уравнение: $x^2 - (x - 5)^2 = 10$.
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$x^2 - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) = 10$
$x^2 - (x^2 - 10x + 25) = 10$
Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус.
$x^2 - x^2 + 10x - 25 = 10$
Приведем подобные слагаемые. Члены $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются.
$10x - 25 = 10$
Перенесем свободный член -25 в правую часть с противоположным знаком.
$10x = 10 + 25$
$10x = 35$
Разделим обе части уравнения на 10.
$x = \frac{35}{10}$
$x = 3.5$

Ответ: $3.5$.

в) Исходное уравнение: $(x + 12)^2 = x(x + 8)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы, в правой — распределительный закон.
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2 = x \cdot x + x \cdot 8$
$x^2 + 24x + 144 = x^2 + 8x$
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую. Член $x^2$ есть в обеих частях, поэтому он сокращается.
$24x + 144 - 8x - x^2 = 0$
$24x - 8x = -144$
Приведем подобные слагаемые.
$16x = -144$
Разделим обе части уравнения на 16.
$x = \frac{-144}{16}$
$x = -9$

Ответ: $-9$.

г) Исходное уравнение: $(x - 3)(x + 1) = (x - 2)^2$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части перемножим многочлены, в правой — используем формулу квадрата разности.
$x \cdot x + x \cdot 1 - 3 \cdot x - 3 \cdot 1 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2$
$x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 4x + 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$x^2 - 2x - 3 = x^2 - 4x + 4$
Член $x^2$ есть в обеих частях, поэтому он сокращается.
$-2x - 3 = -4x + 4$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую.
$-2x + 4x = 4 + 3$
Приведем подобные слагаемые.
$2x = 7$
Разделим обе части на 2.
$x = \frac{7}{2}$
$x = 3.5$

Ответ: $3.5$.

6.147 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $(a+b)^2 - 2ab = a^2 + b^2$;

б) $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$;

в) $a(a+b) + b(a+b) = (a+b)^2$;

г) $(a-b)^2 = a(a-b) - b(a-b).

а) Чтобы доказать тождество $(a + b)^2 - 2ab = a^2 + b^2$, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства:
$(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab$.
Теперь приведем подобные слагаемые ( $2ab$ и $-2ab$ взаимно уничтожаются):
$a^2 + 2ab - 2ab + b^2 = a^2 + b^2$.
В результате преобразований мы получили выражение, идентичное правой части тождества: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$. Тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать тождество $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$, преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Подставим полученное выражение в правую часть исходного равенства:
$(a - b)^2 + 2ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 2ab$.
Теперь приведем подобные слагаемые ( $-2ab$ и $2ab$ взаимно уничтожаются):
$a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2$.
В результате преобразований мы получили выражение, идентичное левой части тождества: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$. Тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать тождество $a(a + b) + b(a + b) = (a + b)^2$, преобразуем его левую часть. Заметим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(a+b)$. Вынесем его за скобки:
$a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b)$.
Произведение двух одинаковых множителей равно квадрату этого множителя:
$(a + b)(a + b) = (a + b)^2$.
В результате преобразований левая часть стала равна правой: $(a + b)^2 = (a + b)^2$. Тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать тождество $(a - b)^2 = a(a - b) - b(a - b)$, преобразуем его правую часть. Заметим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(a-b)$. Вынесем его за скобки:
$a(a - b) - b(a - b) = (a - b)(a - b)$.
Произведение двух одинаковых множителей равно квадрату этого множителя:
$(a - b)(a - b) = (a - b)^2$.
В результате преобразований правая часть стала равна левой: $(a - b)^2 = (a - b)^2$. Тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.

6.148 МОДЕЛИРУЕМ Проиллюстрируйте с помощью рисунка 6.7 формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$a$

$a - b$

$b$

$ab$

$b^2$

Рис. 6.7

Данный рисунок геометрически иллюстрирует формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Рассмотрим большой квадрат со стороной $a$. Его полная площадь равна $a \times a = a^2$. Наша цель — выразить площадь квадрата со стороной $(a-b)$, который на рисунке заштрихован по диагонали. Площадь этого искомого квадрата равна $(a-b)^2$.

Чтобы найти эту площадь, можно из площади большого квадрата ($a^2$) вычесть площади двух пересекающихся прямоугольных полос: вертикальной полосы справа (со сторонами $a$ и $b$, площадью $ab$) и горизонтальной полосы снизу (также со сторонами $a$ и $b$, площадью $ab$).

При таком вычитании ($a^2 - ab - ab$) маленький квадрат в правом нижнем углу со стороной $b$ (и площадью $b^2$) оказывается вычтенным дважды, так как он является областью пересечения этих двух полос. Чтобы компенсировать это двойное вычитание, его площадь нужно один раз прибавить обратно.

В результате мы получаем следующее выражение для площади искомого квадрата:

$(a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2$

Упростив правую часть, мы приходим к итоговой формуле:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, рисунок наглядно доказывает справедливость данной формулы.

Ответ: Рисунок иллюстрирует, что площадь квадрата со стороной $(a-b)$ можно найти, если из площади большого квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$) вычесть два прямоугольника площадью $ab$ каждый. Поскольку при этом их общая часть — квадрат со стороной $b$ (площадь $b^2$) — вычитается дважды, для корректного расчета ее нужно один раз прибавить. В результате получается выражение: $(a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

6.149 Докажите, что $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab.$ Поясните это равенство с помощью рисунка 6.8.

Рис. 6.8

Доказательство тождества $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$

Данное тождество можно доказать двумя способами: алгебраически и геометрически с помощью предоставленного рисунка.

1. Алгебраическое доказательство

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

Сначала раскроем квадрат суммы и квадрат разности:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй скобкой:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 0 + 4ab + 0 = 4ab$

В результате преобразования левая часть равенства стала равна $4ab$, что в точности совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ верно, что и требовалось доказать.

2. Объяснение с помощью рисунка 6.8

Равенство можно интерпретировать геометрически, вычислив площадь заштрихованной фигуры на рисунке двумя различными способами.

Способ I (через разность площадей). Левая часть равенства, $(a+b)^2 - (a-b)^2$, представляет собой разность площадей двух квадратов.

• Площадь большого квадрата: его сторона, согласно разметке на рисунке, равна $a+b$. Следовательно, его площадь $S_{большого} = (a+b)^2$.
• Площадь малого (незаштрихованного) квадрата: его сторона равна $a-b$. Это можно увидеть, например, если измерить его горизонтальную сторону: она равна ширине нижнего левого прямоугольника ($a$) минус ширина верхнего левого прямоугольника ($b$). Таким образом, площадь малого квадрата $S_{малого} = (a-b)^2$.

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей большого и малого квадратов: $S_{заштрих.} = S_{большого} - S_{малого} = (a+b)^2 - (a-b)^2$.

Способ II (через сумму площадей). Правая часть равенства, $4ab$, представляет собой площадь заштрихованной фигуры, вычисленную как сумму площадей ее частей.

• Заштрихованная область разделена на четыре прямоугольника, расположенных "вертушкой" вокруг центра.
• Согласно разметке на сторонах большого квадрата, два из этих прямоугольников имеют размеры $a \times b$, и два других — $b \times a$.
• Площадь каждого из этих четырех прямоугольников равна $ab$.

Следовательно, общая площадь заштрихованной фигуры равна сумме их площадей: $S_{заштрих.} = ab + ab + ab + ab = 4ab$.

Поскольку оба способа вычисляют площадь одной и той же фигуры, результаты должны быть равны. Таким образом, рисунок наглядно демонстрирует, что $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

Ответ: равенство объясняется тем, что обе его части являются математическим выражением площади одной и той же заштрихованной фигуры, вычисленной разными способами.

6.150 Докажите, что $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$. Поясните это равенство с помощью рисунка 6.9.

Рис. 6.9

Доказательство

Чтобы доказать равенство $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$, преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы и квадратом разности.

Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Теперь подставим раскрытые скобки в левую часть исходного выражения:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

Сгруппируем и приведем подобные члены. Слагаемые $2ab$ и $-2ab$ взаимно уничтожаются:

$a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + 2ab - 2ab = 2a^2 + 2b^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a^2 + b^2)$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ доказано.

Пояснение с помощью рисунка

Рассмотрим рисунок 6.9. Закрашенная фигура на нем образована двумя наложенными друг на друга квадратами со стороной $a$. Один квадрат примыкает к левому верхнему углу, а другой — к правому нижнему. Площадь этой закрашенной фигуры можно вычислить двумя различными способами.

Способ 1: Сумма площадей двух квадратов за вычетом их пересечения.

Сумма площадей двух квадратов со стороной $a$ равна $a^2 + a^2 = 2a^2$. Они пересекаются в центре, образуя заштрихованный перекрестной штриховкой квадрат. Длина стороны этого центрального квадрата равна $(a-b)$, а его площадь, соответственно, равна $(a-b)^2$. Чтобы найти площадь объединенной фигуры, нужно из суммы площадей вычесть площадь их пересечения (так как мы посчитали ее дважды):

$S_{закраш.} = 2a^2 - (a - b)^2$

Способ 2: Площадь большого квадрата за вычетом незакрашенных частей.

Вся фигура вписана в большой квадрат, сторона которого равна сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $(a+b)$. Его площадь равна $(a+b)^2$. Внутри этого большого квадрата есть две незакрашенные области — это два маленьких квадрата в правом верхнем и левом нижнем углах. Сторона каждого из этих квадратов равна $b$, а их общая площадь составляет $b^2 + b^2 = 2b^2$. Площадь закрашенной фигуры равна площади большого квадрата минус площадь незакрашенных частей:

$S_{закраш.} = (a+b)^2 - 2b^2$

Вывод:

Поскольку оба способа вычисляют площадь одной и той же фигуры, мы можем приравнять полученные выражения:

$2a^2 - (a - b)^2 = (a + b)^2 - 2b^2$

Перенесем $(a-b)^2$ в правую часть, а $2b^2$ в левую часть, поменяв их знаки:

$2a^2 + 2b^2 = (a + b)^2 + (a - b)^2$

Это и есть тождество, которое нужно было объяснить. Таким образом, рисунок геометрически иллюстрирует данное равенство.

Ответ: Равенство геометрически проиллюстрировано через вычисление площади закрашенной фигуры на рисунке 6.9 двумя различными способами.