Страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.117 МОДЕЛИРУЕМ

С помощью рисунка 6.4 проиллюстрируйте равенство $(a + b + c)(d + e) = ad + bd + cd + ae + be + ce$. Докажите это равенство с помощью преобразований.

Рис. 6.4

Иллюстрация равенства с помощью рисунка 6.4

Рассмотрим большой прямоугольник, изображенный на рисунке. Длина его горизонтальной стороны складывается из длин отрезков $a$, $b$ и $c$, и равна $(a + b + c)$. Длина его вертикальной стороны складывается из длин отрезков $d$ и $e$, и равна $(d + e)$.

Площадь всего прямоугольника можно найти, умножив длину его сторон. Таким образом, площадь $S$ равна: $S = (a + b + c)(d + e)$.

С другой стороны, этот большой прямоугольник состоит из шести меньших прямоугольников (обозначенных I, II, III, IV, V, VI). Его общая площадь равна сумме площадей этих шести частей. Найдем площадь каждой части:

Площадь прямоугольника I: $S_I = a \cdot d = ad$.
Площадь прямоугольника II: $S_{II} = b \cdot d = bd$.
Площадь прямоугольника III: $S_{III} = c \cdot d = cd$.
Площадь прямоугольника IV: $S_{IV} = a \cdot e = ae$.
Площадь прямоугольника V: $S_V = b \cdot e = be$.
Площадь прямоугольника VI: $S_{VI} = c \cdot e = ce$.

Сложив площади всех шести частей, получим общую площадь: $S = S_I + S_{II} + S_{III} + S_{IV} + S_V + S_{VI} = ad + bd + cd + ae + be + ce$.

Приравнивая два выражения для общей площади, мы получаем требуемое равенство: $(a + b + c)(d + e) = ad + bd + cd + ae + be + ce$.

Ответ: Равенство иллюстрируется тем, что площадь большого прямоугольника со сторонами $(a+b+c)$ и $(d+e)$ равна сумме площадей шести меньших прямоугольников, из которых он состоит: $ad + bd + cd + ae + be + ce$.

Доказательство равенства с помощью преобразований

Чтобы доказать это равенство алгебраически, мы раскроем скобки в левой части выражения, используя распределительный закон умножения. Правило умножения многочлена на многочлен гласит, что нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Рассмотрим левую часть равенства: $(a + b + c)(d + e)$.

Умножим многочлен $(a + b + c)$ на каждый член двучлена $(d + e)$: $(a + b + c)(d + e) = (a + b + c) \cdot d + (a + b + c) \cdot e$.

Теперь применим распределительный закон еще раз для каждого из слагаемых: $(a \cdot d + b \cdot d + c \cdot d) + (a \cdot e + b \cdot e + c \cdot e)$.

Раскрывая скобки, получаем: $ad + bd + cd + ae + be + ce$.

Таким образом, левая часть равенства после преобразований стала идентична правой части, что и доказывает равенство.

Ответ: $(a + b + c)(d + e) = (a+b+c)d + (a+b+c)e = ad + bd + cd + ae + be + ce$.

6.118 Представьте в виде многочлена:

а) $ (y - 1)(y^2 + 2y - 1); $

б) $ (z^2 + 3z + 2)(z - 5); $

в) $ (a + b)(a^2 - ab + b^2); $

г) $ (x^2 - xy + y^2)(x - y). $

а) Чтобы представить произведение $(y - 1)(y^2 + 2y - 1)$ в виде многочлена, необходимо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена (раскрыть скобки) и затем привести подобные слагаемые.

$(y - 1)(y^2 + 2y - 1) = y \cdot (y^2 + 2y - 1) - 1 \cdot (y^2 + 2y - 1)$

$= (y \cdot y^2 + y \cdot 2y + y \cdot (-1)) + (-1 \cdot y^2 - 1 \cdot 2y - 1 \cdot (-1))$

$= (y^3 + 2y^2 - y) + (-y^2 - 2y + 1)$

$= y^3 + 2y^2 - y - y^2 - 2y + 1$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$y^3 + (2y^2 - y^2) + (-y - 2y) + 1 = y^3 + y^2 - 3y + 1$

Ответ: $y^3 + y^2 - 3y + 1$

б) Аналогично выполним умножение для $(z^2 + 3z + 2)(z - 5)$.

$(z^2 + 3z + 2)(z - 5) = z^2 \cdot (z - 5) + 3z \cdot (z - 5) + 2 \cdot (z - 5)$

$= (z^2 \cdot z - z^2 \cdot 5) + (3z \cdot z - 3z \cdot 5) + (2 \cdot z - 2 \cdot 5)$

$= (z^3 - 5z^2) + (3z^2 - 15z) + (2z - 10)$

$= z^3 - 5z^2 + 3z^2 - 15z + 2z - 10$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$z^3 + (-5z^2 + 3z^2) + (-15z + 2z) - 10 = z^3 - 2z^2 - 13z - 10$

Ответ: $z^3 - 2z^2 - 13z - 10$

в) Выражение $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ является формулой сокращенного умножения, известной как "сумма кубов".

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применяя эту формулу, мы сразу получаем результат. Для проверки можно также выполнить умножение по шагам:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2)$

$= (a^3 - a^2b + ab^2) + (a^2b - ab^2 + b^3)$

Приведем подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются:

$a^3 - a^2b + a^2b + ab^2 - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$

Ответ: $a^3 + b^3$

г) Выполним умножение многочленов $(x^2 - xy + y^2)(x - y)$.

$(x^2 - xy + y^2)(x - y) = x^2 \cdot (x - y) - xy \cdot (x - y) + y^2 \cdot (x - y)$

$= (x^3 - x^2y) - (x^2y - xy^2) + (xy^2 - y^3)$

$= x^3 - x^2y - x^2y + xy^2 + xy^2 - y^3$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$x^3 + (-x^2y - x^2y) + (xy^2 + xy^2) - y^3 = x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3$

Ответ: $x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3$

6.119 Упростите выражение:

a) $(7 - 2x - x^2) - (x - 2)(x + 3);$

б) $(3m^2 + 3n^2) - (2m + n)(m + 2n);$

в) $u(u + v) - (v - 1)(u - 1).$

а) Для того чтобы упростить выражение $(7 - 2x - x^2) - (x - 2)(x + 3)$, сначала раскроем скобки в произведении двух многочленов $(x - 2)(x + 3)$.

$(x - 2)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3 = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(7 - 2x - x^2) - (x^2 + x - 6)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные, так как перед скобками стоит знак минус:

$7 - 2x - x^2 - x^2 - x + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(-x^2 - x^2) + (-2x - x) + (7 + 6) = -2x^2 - 3x + 13$.

Ответ: $-2x^2 - 3x + 13$.

б) Упростим выражение $(3m^2 + 3n^2) - (2m + n)(m + 2n)$.

Сначала перемножим многочлены в скобках:

$(2m + n)(m + 2n) = 2m \cdot m + 2m \cdot 2n + n \cdot m + n \cdot 2n = 2m^2 + 4mn + mn + 2n^2 = 2m^2 + 5mn + 2n^2$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(3m^2 + 3n^2) - (2m^2 + 5mn + 2n^2)$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$3m^2 + 3n^2 - 2m^2 - 5mn - 2n^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3m^2 - 2m^2) + (3n^2 - 2n^2) - 5mn = m^2 + n^2 - 5mn$.

Ответ: $m^2 - 5mn + n^2$.

в) Упростим выражение $u(u + v) - (v - 1)(u - 1)$.

Раскроем скобки в каждом слагаемом. Сначала в первом:

$u(u + v) = u^2 + uv$.

Теперь во втором:

$(v - 1)(u - 1) = v \cdot u - v \cdot 1 - 1 \cdot u + 1 \cdot 1 = uv - v - u + 1$.

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(u^2 + uv) - (uv - v - u + 1)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки:

$u^2 + uv - uv + v + u - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$u^2 + (uv - uv) + u + v - 1 = u^2 + u + v - 1$.

Ответ: $u^2 + u + v - 1$.

6.120 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Найдите значение выражения при заданном значении переменной:

a) $ (z + 2)(z + 3) - z(z + 1) $, $ z = -6,5 $;

б) $ (c - 5)(c - 10) + 3c(c + 5) $, $ c = 3,5 $.

а) Чтобы найти значение выражения $(z + 2)(z + 3) - z(z + 1)$ при $z = -6,5$, сначала упростим его. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем произведение скобок $(z + 2)(z + 3)$:

$(z + 2)(z + 3) = z \cdot z + z \cdot 3 + 2 \cdot z + 2 \cdot 3 = z^2 + 3z + 2z + 6 = z^2 + 5z + 6$

2. Раскроем вторую часть выражения $-z(z + 1)$:

$-z(z + 1) = -z \cdot z - z \cdot 1 = -z^2 - z$

3. Теперь сложим полученные результаты:

$(z^2 + 5z + 6) + (-z^2 - z) = z^2 + 5z + 6 - z^2 - z$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(z^2 - z^2) + (5z - z) + 6 = 4z + 6$

5. Подставим значение $z = -6,5$ в упрощенное выражение $4z + 6$:

$4 \cdot (-6,5) + 6 = -26 + 6 = -20$

Ответ: -20

б) Чтобы найти значение выражения $(c - 5)(c - 10) + 3c(c + 5)$ при $c = 3,5$, также сначала упростим его.

1. Раскроем произведение скобок $(c - 5)(c - 10)$:

$(c - 5)(c - 10) = c \cdot c - c \cdot 10 - 5 \cdot c - 5 \cdot (-10) = c^2 - 10c - 5c + 50 = c^2 - 15c + 50$

2. Раскроем вторую часть выражения $3c(c + 5)$:

$3c(c + 5) = 3c \cdot c + 3c \cdot 5 = 3c^2 + 15c$

3. Сложим полученные результаты:

$(c^2 - 15c + 50) + (3c^2 + 15c) = c^2 - 15c + 50 + 3c^2 + 15c$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(c^2 + 3c^2) + (-15c + 15c) + 50 = 4c^2 + 50$

5. Подставим значение $c = 3,5$ в упрощенное выражение $4c^2 + 50$:

$4 \cdot (3,5)^2 + 50 = 4 \cdot 12,25 + 50 = 49 + 50 = 99$

Ответ: 99

6.121 Упростите выражение:

а) $(n + 1)(2n - 3) + (n - 1)(3n + 1);$

б) $(x - y)(2x - 3y) - (3x - y)(2x + y);$

в) $(2a + 3)(2a + 3) - (2a + 1)(2a - 1);$

г) $(3c - d)(d + 3c) + (4c - d)(c - 4d).$

а) Чтобы упростить выражение $(n + 1)(2n - 3) + (n - 1)(3n + 1)$, нужно раскрыть скобки, перемножив многочлены, а затем привести подобные слагаемые.
1. Раскроем первую пару скобок:
$(n + 1)(2n - 3) = n \cdot 2n + n \cdot (-3) + 1 \cdot 2n + 1 \cdot (-3) = 2n^2 - 3n + 2n - 3 = 2n^2 - n - 3$.
2. Раскроем вторую пару скобок:
$(n - 1)(3n + 1) = n \cdot 3n + n \cdot 1 - 1 \cdot 3n - 1 \cdot 1 = 3n^2 + n - 3n - 1 = 3n^2 - 2n - 1$.
3. Сложим полученные многочлены:
$(2n^2 - n - 3) + (3n^2 - 2n - 1) = 2n^2 - n - 3 + 3n^2 - 2n - 1$.
4. Приведем подобные слагаемые:
$(2n^2 + 3n^2) + (-n - 2n) + (-3 - 1) = 5n^2 - 3n - 4$.
Ответ: $5n^2 - 3n - 4$.

б) Чтобы упростить выражение $(x - y)(2x - 3y) - (3x - y)(2x + y)$, нужно раскрыть скобки в каждом произведении, а затем выполнить вычитание и привести подобные слагаемые.
1. Раскроем первую пару скобок:
$(x - y)(2x - 3y) = x \cdot 2x + x \cdot (-3y) - y \cdot 2x - y \cdot (-3y) = 2x^2 - 3xy - 2xy + 3y^2 = 2x^2 - 5xy + 3y^2$.
2. Раскроем вторую пару скобок:
$(3x - y)(2x + y) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot y - y \cdot 2x - y \cdot y = 6x^2 + 3xy - 2xy - y^2 = 6x^2 + xy - y^2$.
3. Вычтем второй многочлен из первого:
$(2x^2 - 5xy + 3y^2) - (6x^2 + xy - y^2) = 2x^2 - 5xy + 3y^2 - 6x^2 - xy + y^2$.
4. Приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 - 6x^2) + (-5xy - xy) + (3y^2 + y^2) = -4x^2 - 6xy + 4y^2$.
Ответ: $-4x^2 - 6xy + 4y^2$.

в) Чтобы упростить выражение $(2a + 3)(2a + 3) - (2a + 1)(2a - 1)$, можно использовать формулы сокращенного умножения.
1. Первое слагаемое представляет собой квадрат суммы: $(2a + 3)(2a + 3) = (2a + 3)^2$. Используем формулу $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$:
$(2a + 3)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 + 12a + 9$.
2. Второе слагаемое представляет собой произведение разности и суммы двух выражений: $(2a + 1)(2a - 1)$. Используем формулу разности квадратов $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$:
$(2a + 1)(2a - 1) = (2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$.
3. Выполним вычитание:
$(4a^2 + 12a + 9) - (4a^2 - 1) = 4a^2 + 12a + 9 - 4a^2 + 1$.
4. Приведем подобные слагаемые:
$(4a^2 - 4a^2) + 12a + (9 + 1) = 0 + 12a + 10 = 12a + 10$.
Ответ: $12a + 10$.

г) Чтобы упростить выражение $(3c - d)(d + 3c) + (4c - d)(c - 4d)$, воспользуемся формулой разности квадратов для первого слагаемого и раскроем скобки во втором.
1. Преобразуем первое произведение: $(3c - d)(d + 3c) = (3c - d)(3c + d)$. Это формула разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$:
$(3c - d)(3c + d) = (3c)^2 - d^2 = 9c^2 - d^2$.
2. Раскроем скобки во втором произведении:
$(4c - d)(c - 4d) = 4c \cdot c + 4c \cdot (-4d) - d \cdot c - d \cdot (-4d) = 4c^2 - 16cd - cd + 4d^2 = 4c^2 - 17cd + 4d^2$.
3. Сложим полученные выражения:
$(9c^2 - d^2) + (4c^2 - 17cd + 4d^2) = 9c^2 - d^2 + 4c^2 - 17cd + 4d^2$.
4. Приведем подобные слагаемые:
$(9c^2 + 4c^2) - 17cd + (-d^2 + 4d^2) = 13c^2 - 17cd + 3d^2$.
Ответ: $13c^2 - 17cd + 3d^2$.

6.122 Решите уравнение:

a) $(x - 2)(x - 3) = x(x + 1);$

б) $(x + 4)(x + 6) - x^2 = 30;$

в) $(x - 5)(x + 1) - x = x^2 + 5;$

г) $(x - 1)(x - 3) = (x - 2)(x - 4).$

а) Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения $(x - 2)(x - 3) = x(x + 1)$:
$x \cdot x - 3 \cdot x - 2 \cdot x - 2 \cdot (-3) = x \cdot x + x \cdot 1$
$x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 + x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x^2 - 5x + 6 = x^2 + x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, изменив их знаки на противоположные:
$x^2 - 5x + 6 - x^2 - x = 0$
Сократим $x^2$ и $-x^2$ и приведем подобные слагаемые:
$-6x + 6 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$-6x = -6$
Разделим обе части уравнения на -6, чтобы найти $x$:
$x = \frac{-6}{-6}$
$x = 1$
Ответ: 1

б) В уравнении $(x + 4)(x + 6) - x^2 = 30$ раскроем скобки:
$x \cdot x + 6 \cdot x + 4 \cdot x + 4 \cdot 6 - x^2 = 30$
$x^2 + 6x + 4x + 24 - x^2 = 30$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (6x + 4x) + 24 = 30$
$10x + 24 = 30$
Перенесем число 24 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$10x = 30 - 24$
$10x = 6$
Найдем $x$, разделив обе части на 10:
$x = \frac{6}{10}$
$x = 0.6$
Ответ: 0.6

в) В уравнении $(x - 5)(x + 1) - x = x^2 + 5$ раскроем скобки:
$x^2 + x - 5x - 5 - x = x^2 + 5$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x^2 - 5x - 5 = x^2 + 5$
Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:
$x^2 - 5x - x^2 = 5 + 5$
Приведем подобные слагаемые:
$-5x = 10$
Найдем $x$, разделив обе части на -5:
$x = \frac{10}{-5}$
$x = -2$
Ответ: -2

г) Раскроем скобки в обеих частях уравнения $(x - 1)(x - 3) = (x - 2)(x - 4)$:
$x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x - 2x + 8$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$x^2 - 4x + 3 = x^2 - 6x + 8$
Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$x^2 - 4x - x^2 + 6x = 8 - 3$
Приведем подобные слагаемые:
$2x = 5$
Найдем $x$, разделив обе части на 2:
$x = \frac{5}{2}$
$x = 2.5$
Ответ: 2.5

6.123 МОДЕЛИРУЕМ

Составьте два выражения для вычисления площади прямоугольника (рис. 6.5) и запишите соответствующее равенство. Докажите это равенство алгебраически.

Рис. 6.5

Составьте два выражения для вычисления площади прямоугольника

Площадь прямоугольника, представленного на рисунке 6.5, можно вычислить двумя различными способами.

1. Вычисление площади всего прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Согласно рисунку, общая длина прямоугольника равна сумме длин отрезков $b$ и $d$, то есть $b+d$. Общая ширина равна сумме длин отрезков $a$ и $c$, то есть $a+c$.
Таким образом, первое выражение для площади $S$ имеет вид:
$S = (b+d)(a+c)$

2. Вычисление площади как суммы площадей его частей.
Большой прямоугольник состоит из четырех меньших прямоугольников (I, II, III, IV). Его общая площадь равна сумме площадей этих частей. Определим площадь каждой части:
- Площадь прямоугольника I: ширина $b$, высота $c$. $S_I = b \cdot c$
- Площадь прямоугольника II: ширина $d$, высота $c$. $S_{II} = d \cdot c$
- Площадь прямоугольника III: ширина $b$, высота $a$. $S_{III} = b \cdot a$
- Площадь прямоугольника IV: ширина $d$, высота $a$. $S_{IV} = d \cdot a$
Сложив площади всех частей, получим второе выражение для общей площади $S$ (слагаемые для удобства расположены в алфавитном порядке):
$S = ab + ad + bc + dc$

Ответ: $(b+d)(a+c)$ и $ab + ad + bc + dc$.

Запишите соответствующее равенство

Поскольку оба выражения определяют площадь одной и той же фигуры, они равны друг другу. Запишем соответствующее равенство:

$(b+d)(a+c) = ab + ad + bc + dc$

Ответ: $(b+d)(a+c) = ab + ad + bc + dc$.

Докажите это равенство алгебраически

Для доказательства равенства необходимо выполнить алгебраические преобразования его левой части, чтобы показать, что она идентична правой. Раскроем скобки в левой части, используя распределительный закон умножения (правило умножения многочлена на многочлен):

$(b+d)(a+c) = b \cdot (a+c) + d \cdot (a+c)$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$b \cdot a + b \cdot c + d \cdot a + d \cdot c = ab + bc + ad + dc$

Переставим слагаемые в соответствии с порядком в правой части исходного равенства:

$ab + ad + bc + dc$

В результате преобразований левая часть равенства стала полностью идентична правой части: $ab + ad + bc + dc = ab + ad + bc + dc$. Это доказывает, что равенство является тождеством.

Ответ: Равенство доказано. Преобразование левой части дает: $(b+d)(a+c) = b(a+c) + d(a+c) = ab + bc + ad + dc = ab + ad + bc + dc$, что в точности равно правой части.

6.124 Выполните умножение:

а) $(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$;

б) $(2t - v + s)(t + 2v - s)$;

в) $(y^2 - 3y - 2)(y^2 + 3y - 2)$;

г) $(a + 2b + 3c)(2a - b + 2c).

а) $(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$

Сгруппируем слагаемые в каждом множителе, чтобы использовать формулу разности квадратов $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$.

$((x^2 + 1) - 2x)((x^2 + 1) + 2x)$

Здесь $A = x^2 + 1$, а $B = 2x$. Применяем формулу:

$(x^2 + 1)^2 - (2x)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и свойство степени:

$(x^4 + 2x^2 + 1) - 4x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 + 2x^2 - 4x^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

Ответ: $x^4 - 2x^2 + 1$

б) $(2t - v + s)(t + 2v - s)$

В данном случае необходимо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

$(2t - v + s)(t + 2v - s) = 2t(t + 2v - s) - v(t + 2v - s) + s(t + 2v - s)$

Раскроем скобки:

$2t^2 + 4tv - 2ts - vt - 2v^2 + vs + st + 2sv - s^2$

Приведем подобные слагаемые, учитывая, что $tv=vt$, $ts=st$ и $vs=sv$:

$2t^2 - 2v^2 - s^2 + (4tv - tv) + (-2ts + st) + (vs + 2sv)$

$2t^2 - 2v^2 - s^2 + 3tv - ts + 3vs$

Ответ: $2t^2 - 2v^2 - s^2 + 3tv - ts + 3vs$

в) $(y^2 - 3y - 2)(y^2 + 3y - 2)$

Сгруппируем слагаемые в каждом множителе для применения формулы разности квадратов $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$.

$((y^2 - 2) - 3y)((y^2 - 2) + 3y)$

Здесь $A = y^2 - 2$, а $B = 3y$. Применим формулу:

$(y^2 - 2)^2 - (3y)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и свойство степени:

$((y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 2 + 2^2) - 9y^2 = (y^4 - 4y^2 + 4) - 9y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$y^4 - 4y^2 - 9y^2 + 4 = y^4 - 13y^2 + 4$

Ответ: $y^4 - 13y^2 + 4$

г) $(a + 2b + 3c)(2a - b + 2c)$

Выполним умножение каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена.

$(a + 2b + 3c)(2a - b + 2c) = a(2a - b + 2c) + 2b(2a - b + 2c) + 3c(2a - b + 2c)$

Раскроем скобки:

$(2a^2 - ab + 2ac) + (4ab - 2b^2 + 4bc) + (6ac - 3bc + 6c^2)$

Уберем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$2a^2 - 2b^2 + 6c^2 + (-ab + 4ab) + (2ac + 6ac) + (4bc - 3bc)$

Приведем подобные слагаемые:

$2a^2 - 2b^2 + 6c^2 + 3ab + 8ac + bc$

Ответ: $2a^2 - 2b^2 + 6c^2 + 3ab + 8ac + bc$

6.125 Представьте в виде многочлена:

a) $(x - 1)(x - 3)(x - 5);$

б) $x(x - 1)(x - 2) - x^2(x - 3);$

в) $(y - 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1);$

г) $(n + 1)(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1).$

а) Чтобы представить выражение $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ в виде многочлена, выполним умножение пошагово.
Сначала перемножим первые два множителя:
$(x - 1)(x - 3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3$.
Теперь умножим полученный многочлен на $(x - 5)$:
$(x^2 - 4x + 3)(x - 5) = x^2(x - 5) - 4x(x - 5) + 3(x - 5) = x^3 - 5x^2 - 4x^2 + 20x + 3x - 15$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-5 - 4)x^2 + (20 + 3)x - 15 = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$.
Ответ: $x^3 - 9x^2 + 23x - 15$.

б) Упростим выражение $x(x - 1)(x - 2) - x^2(x - 3)$, раскрыв скобки в каждом члене.
Первый член: $x(x - 1)(x - 2) = x(x^2 - 2x - x + 2) = x(x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x$.
Второй член: $x^2(x - 3) = x^3 - 3x^2$.
Выполним вычитание:
$(x^3 - 3x^2 + 2x) - (x^3 - 3x^2) = x^3 - 3x^2 + 2x - x^3 + 3x^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (-3x^2 + 3x^2) + 2x = 2x$.
Ответ: $2x$.

в) Выражение $(y - 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1)$ соответствует формуле разности степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.
В данном случае $a = y$, $b = 1$ и $n=5$.
Следовательно, $(y - 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) = y^5 - 1^5 = y^5 - 1$.
Можно также проверить прямым умножением:
$y(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) - 1(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) = y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y - y^4 - y^3 - y^2 - y - 1$.
После сокращения подобных членов получаем $y^5 - 1$.
Ответ: $y^5 - 1$.

г) Выражение $(n + 1)(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1)$ соответствует формуле суммы нечетных степеней: $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$, которая верна для нечетных $n$.
В данном случае $a = n$, $b = 1$ и $n=5$.
Следовательно, $(n + 1)(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) = n^5 + 1^5 = n^5 + 1$.
Проверка прямым умножением:
$n(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) + 1(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) = n^5 - n^4 + n^3 - n^2 + n + n^4 - n^3 + n^2 - n + 1$.
После сокращения подобных членов получаем $n^5 + 1$.
Ответ: $n^5 + 1$.