Номер 6.124, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.124 Выполните умножение:

а) $(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$;

б) $(2t - v + s)(t + 2v - s)$;

в) $(y^2 - 3y - 2)(y^2 + 3y - 2)$;

г) $(a + 2b + 3c)(2a - b + 2c).

а) $(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$

Сгруппируем слагаемые в каждом множителе, чтобы использовать формулу разности квадратов $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$.

$((x^2 + 1) - 2x)((x^2 + 1) + 2x)$

Здесь $A = x^2 + 1$, а $B = 2x$. Применяем формулу:

$(x^2 + 1)^2 - (2x)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и свойство степени:

$(x^4 + 2x^2 + 1) - 4x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 + 2x^2 - 4x^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

Ответ: $x^4 - 2x^2 + 1$

б) $(2t - v + s)(t + 2v - s)$

В данном случае необходимо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

$(2t - v + s)(t + 2v - s) = 2t(t + 2v - s) - v(t + 2v - s) + s(t + 2v - s)$

Раскроем скобки:

$2t^2 + 4tv - 2ts - vt - 2v^2 + vs + st + 2sv - s^2$

Приведем подобные слагаемые, учитывая, что $tv=vt$, $ts=st$ и $vs=sv$:

$2t^2 - 2v^2 - s^2 + (4tv - tv) + (-2ts + st) + (vs + 2sv)$

$2t^2 - 2v^2 - s^2 + 3tv - ts + 3vs$

Ответ: $2t^2 - 2v^2 - s^2 + 3tv - ts + 3vs$

в) $(y^2 - 3y - 2)(y^2 + 3y - 2)$

Сгруппируем слагаемые в каждом множителе для применения формулы разности квадратов $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$.

$((y^2 - 2) - 3y)((y^2 - 2) + 3y)$

Здесь $A = y^2 - 2$, а $B = 3y$. Применим формулу:

$(y^2 - 2)^2 - (3y)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и свойство степени:

$((y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 2 + 2^2) - 9y^2 = (y^4 - 4y^2 + 4) - 9y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$y^4 - 4y^2 - 9y^2 + 4 = y^4 - 13y^2 + 4$

Ответ: $y^4 - 13y^2 + 4$

г) $(a + 2b + 3c)(2a - b + 2c)$

Выполним умножение каждого члена первого многочлена на каждый член второго многочлена.

$(a + 2b + 3c)(2a - b + 2c) = a(2a - b + 2c) + 2b(2a - b + 2c) + 3c(2a - b + 2c)$

Раскроем скобки:

$(2a^2 - ab + 2ac) + (4ab - 2b^2 + 4bc) + (6ac - 3bc + 6c^2)$

Уберем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$2a^2 - 2b^2 + 6c^2 + (-ab + 4ab) + (2ac + 6ac) + (4bc - 3bc)$

Приведем подобные слагаемые:

$2a^2 - 2b^2 + 6c^2 + 3ab + 8ac + bc$

Ответ: $2a^2 - 2b^2 + 6c^2 + 3ab + 8ac + bc$