Номер 6.118, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 6. Многочлены. 6.6. Умножение многочлена на многочлен. Упражнения - номер 6.118, страница 168.

Условие.

6.118 Представьте в виде многочлена:

а) $ (y - 1)(y^2 + 2y - 1); $

б) $ (z^2 + 3z + 2)(z - 5); $

в) $ (a + b)(a^2 - ab + b^2); $

г) $ (x^2 - xy + y^2)(x - y). $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы представить произведение $(y - 1)(y^2 + 2y - 1)$ в виде многочлена, необходимо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена (раскрыть скобки) и затем привести подобные слагаемые.

$(y - 1)(y^2 + 2y - 1) = y \cdot (y^2 + 2y - 1) - 1 \cdot (y^2 + 2y - 1)$

$= (y \cdot y^2 + y \cdot 2y + y \cdot (-1)) + (-1 \cdot y^2 - 1 \cdot 2y - 1 \cdot (-1))$

$= (y^3 + 2y^2 - y) + (-y^2 - 2y + 1)$

$= y^3 + 2y^2 - y - y^2 - 2y + 1$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$y^3 + (2y^2 - y^2) + (-y - 2y) + 1 = y^3 + y^2 - 3y + 1$

Ответ: $y^3 + y^2 - 3y + 1$

б) Аналогично выполним умножение для $(z^2 + 3z + 2)(z - 5)$.

$(z^2 + 3z + 2)(z - 5) = z^2 \cdot (z - 5) + 3z \cdot (z - 5) + 2 \cdot (z - 5)$

$= (z^2 \cdot z - z^2 \cdot 5) + (3z \cdot z - 3z \cdot 5) + (2 \cdot z - 2 \cdot 5)$

$= (z^3 - 5z^2) + (3z^2 - 15z) + (2z - 10)$

$= z^3 - 5z^2 + 3z^2 - 15z + 2z - 10$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$z^3 + (-5z^2 + 3z^2) + (-15z + 2z) - 10 = z^3 - 2z^2 - 13z - 10$

Ответ: $z^3 - 2z^2 - 13z - 10$

в) Выражение $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ является формулой сокращенного умножения, известной как "сумма кубов".

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применяя эту формулу, мы сразу получаем результат. Для проверки можно также выполнить умножение по шагам:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2)$

$= (a^3 - a^2b + ab^2) + (a^2b - ab^2 + b^3)$

Приведем подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются:

$a^3 - a^2b + a^2b + ab^2 - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$

Ответ: $a^3 + b^3$

г) Выполним умножение многочленов $(x^2 - xy + y^2)(x - y)$.

$(x^2 - xy + y^2)(x - y) = x^2 \cdot (x - y) - xy \cdot (x - y) + y^2 \cdot (x - y)$

$= (x^3 - x^2y) - (x^2y - xy^2) + (xy^2 - y^3)$

$= x^3 - x^2y - x^2y + xy^2 + xy^2 - y^3$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$x^3 + (-x^2y - x^2y) + (xy^2 + xy^2) - y^3 = x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3$

Ответ: $x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3$