Номер 6.125, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.125 Представьте в виде многочлена:

a) $(x - 1)(x - 3)(x - 5);$

б) $x(x - 1)(x - 2) - x^2(x - 3);$

в) $(y - 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1);$

г) $(n + 1)(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1).$

а) Чтобы представить выражение $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ в виде многочлена, выполним умножение пошагово.
Сначала перемножим первые два множителя:
$(x - 1)(x - 3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3$.
Теперь умножим полученный многочлен на $(x - 5)$:
$(x^2 - 4x + 3)(x - 5) = x^2(x - 5) - 4x(x - 5) + 3(x - 5) = x^3 - 5x^2 - 4x^2 + 20x + 3x - 15$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-5 - 4)x^2 + (20 + 3)x - 15 = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$.
Ответ: $x^3 - 9x^2 + 23x - 15$.

б) Упростим выражение $x(x - 1)(x - 2) - x^2(x - 3)$, раскрыв скобки в каждом члене.
Первый член: $x(x - 1)(x - 2) = x(x^2 - 2x - x + 2) = x(x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x$.
Второй член: $x^2(x - 3) = x^3 - 3x^2$.
Выполним вычитание:
$(x^3 - 3x^2 + 2x) - (x^3 - 3x^2) = x^3 - 3x^2 + 2x - x^3 + 3x^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (-3x^2 + 3x^2) + 2x = 2x$.
Ответ: $2x$.

в) Выражение $(y - 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1)$ соответствует формуле разности степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.
В данном случае $a = y$, $b = 1$ и $n=5$.
Следовательно, $(y - 1)(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) = y^5 - 1^5 = y^5 - 1$.
Можно также проверить прямым умножением:
$y(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) - 1(y^4 + y^3 + y^2 + y + 1) = y^5 + y^4 + y^3 + y^2 + y - y^4 - y^3 - y^2 - y - 1$.
После сокращения подобных членов получаем $y^5 - 1$.
Ответ: $y^5 - 1$.

г) Выражение $(n + 1)(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1)$ соответствует формуле суммы нечетных степеней: $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$, которая верна для нечетных $n$.
В данном случае $a = n$, $b = 1$ и $n=5$.
Следовательно, $(n + 1)(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) = n^5 + 1^5 = n^5 + 1$.
Проверка прямым умножением:
$n(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) + 1(n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) = n^5 - n^4 + n^3 - n^2 + n + n^4 - n^3 + n^2 - n + 1$.
После сокращения подобных членов получаем $n^5 + 1$.
Ответ: $n^5 + 1$.