Номер 6.132, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.132 Выпишите выражения, равные произведению

$(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5):$

$(1 - n)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5); \quad (n - 1)(2 - n)(n - 3)(4 - n)(n - 5);$

$(1 - n)(2 - n)(3 - n)(4 - n)(5 - n); \quad (1 - n)(2 - n)(n - 3)(4 - n)(5 - n).$

Чтобы определить, какие из предложенных выражений равны исходному произведению $(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$, мы проанализируем каждое из них. Основное правило, которое мы будем использовать, заключается в том, что при изменении знака в одном множителе $(a-b) = -(b-a)$, знак всего произведения меняется на противоположный. Если же знак меняется в четном количестве множителей, то знак всего произведения не меняется, так как $(-1) \cdot (-1) = 1$.

В этом выражении по сравнению с исходным изменен только первый множитель: $(1-n) = -(n-1)$.

Таким образом, все выражение можно записать как:

$ -(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) $

Знак был изменен у одного множителя (нечетное число), поэтому все произведение не равно исходному.

Ответ: не равно.

В этом выражении изменены два множителя:

• $(2-n) = -(n-2)$
• $(4-n) = -(n-4)$

Подставим преобразованные множители в выражение:

$(n-1) \cdot (-(n-2)) \cdot (n-3) \cdot (-(n-4)) \cdot (n-5)$

Вынесем знаки "минус":

$(-1) \cdot (-1) \cdot (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$

Так как $(-1)^2 = 1$, итоговое выражение равно исходному:

$(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$

Знак был изменен у двух множителей (четное число), поэтому произведение равно исходному.

Ответ: равно.

В данном выражении изменены все пять множителей:

• $(1-n) = -(n-1)$
• $(2-n) = -(n-2)$
• $(3-n) = -(n-3)$
• $(4-n) = -(n-4)$
• $(5-n) = -(n-5)$

Произведение примет вид:

$(-(n-1)) \cdot (-(n-2)) \cdot (-(n-3)) \cdot (-(n-4)) \cdot (-(n-5))$

Вынеся все знаки "минус", получим:

$(-1)^5 \cdot (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$

Поскольку $(-1)^5 = -1$, выражение не равно исходному.

Знак был изменен у пяти множителей (нечетное число), поэтому все произведение не равно исходному.

Ответ: не равно.

Здесь изменены четыре множителя:

• $(1-n) = -(n-1)$
• $(2-n) = -(n-2)$
• $(4-n) = -(n-4)$
• $(5-n) = -(n-5)$

Подставим преобразования:

$(-(n-1)) \cdot (-(n-2)) \cdot (n-3) \cdot (-(n-4)) \cdot (-(n-5))$

Вынесем знаки "минус":

$(-1)^4 \cdot (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$

Так как $(-1)^4 = 1$, итоговое выражение равно исходному:

$(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$

Знак был изменен у четырех множителей (четное число), поэтому произведение равно исходному.

Ответ: равно.

Таким образом, выражения, равные произведению $(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$, это:

1. $(n-1)(2-n)(n-3)(4-n)(n-5)$

2. $(1-n)(2-n)(n-3)(4-n)(5-n)$