Номер 2, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Докажите формулу:

а) квадрата суммы;

б) квадрата разности.

а) квадрата суммы

Формула квадрата суммы двух выражений a и b имеет вид: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Это тождество означает, что квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Докажем эту формулу двумя способами.

Алгебраическое доказательство:

По определению степени, квадрат выражения — это произведение этого выражения на само себя. Запишем $(a+b)^2$ в виде произведения:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$

Раскроем скобки, используя дистрибутивный закон (правило умножения многочленов): каждый член из первой скобки умножается на каждый член из второй скобки.

$(a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$

Упростим полученное выражение. Так как $b \cdot a = a \cdot b$ (от перестановки множителей произведение не меняется), мы можем записать:

$a^2 + ab + ab + b^2$

Приведем подобные слагаемые ($ab + ab = 2ab$):

$a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали тождество: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Геометрическое доказательство:

Представим квадрат со стороной, равной сумме длин двух отрезков: $(a+b)$. Площадь этого квадрата равна $(a+b)^2$.

Теперь разделим каждую сторону этого квадрата на два отрезка длиной a и b. Проведя через точки деления прямые, параллельные сторонам квадрата, мы разобьем его на четыре меньшие фигуры:

• квадрат со стороной a и площадью $a^2$;
• квадрат со стороной b и площадью $b^2$;
• два одинаковых прямоугольника со сторонами a и b, площадь каждого из которых равна $ab$.

Общая площадь большого квадрата равна сумме площадей этих четырех фигур:

Площадь = $a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.

Так как мы двумя способами выразили площадь одного и того же квадрата, мы можем приравнять полученные выражения:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Формула доказана.

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

б) квадрата разности

Формула квадрата разности двух выражений a и b имеет вид: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Это тождество означает, что квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Докажем это тождество.

Алгебраическое доказательство (способ 1):

По определению степени, запишем $(a-b)^2$ как произведение:

$(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$

Раскроем скобки, последовательно умножая члены:

$(a-b)(a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b)$

Упростим полученное выражение:

$a^2 - ab - ab + b^2$

Приведем подобные слагаемые ($-ab - ab = -2ab$):

$a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали, что $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Алгебраическое доказательство (способ 2):

Этот способ основан на уже доказанной формуле квадрата суммы. Представим разность $a-b$ в виде суммы $a + (-b)$ и применим к ней формулу квадрата суммы:

$(a-b)^2 = (a + (-b))^2$

Используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x=a$ и $y=-b$, получаем:

$(a + (-b))^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (-b) + (-b)^2$

Упростив выражение, получим:

$a^2 - 2ab + b^2$

Это доказывает формулу квадрата разности.

Геометрическое доказательство:

Рассмотрим квадрат со стороной a. Его площадь равна $a^2$. Предположим, что $a > b$. Мы хотим найти площадь квадрата со стороной $(a-b)$.

Чтобы получить квадрат со стороной $(a-b)$ из квадрата со стороной a, нужно "отрезать" от него две полосы шириной b вдоль двух смежных сторон.

Площадь квадрата со стороной $(a-b)$ можно вычислить так: из площади большого квадрата ($a^2$) вычесть площади этих двух полос. Площадь каждой такой полосы (прямоугольника) равна $a \cdot b$.

Однако, когда мы вычитаем $ab$ дважды, мы дважды вычитаем площадь их общего пересечения — небольшого квадрата со стороной b и площадью $b^2$. Чтобы исправить эту ошибку, необходимо один раз вернуть (прибавить) эту площадь.

Таким образом, площадь искомого квадрата равна:

$(a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Формула доказана.

Ответ: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.