Номер 6.130, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.130 Решите уравнение:

a) $5(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7) + 12 = 7(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7) - 4;$

б) $1 - 2(\frac{x}{5} - \frac{x}{3} - 5) = 14 + (\frac{x}{5} - \frac{x}{3} - 6);$

в) $7(2(5x + 1) - 3) - 15 = 4(2(5x + 1) - 3);$

г) $4(3(2x - 1) + 7) - 4 = 3(3(2x - 1) + 6).$

Подсказка. Сделайте замену; например, в п. а: $\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7 = y$; выполнив соответствующую подстановку, решите уравнение.

а) Данное уравнение: $5(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7) + 12 = 7(\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7) - 4$.
Для упрощения решения введем замену. Пусть $y = \frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7$.
Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:
$5y + 12 = 7y - 4$
Теперь решим это уравнение относительно $y$. Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а числа — в левую:
$12 + 4 = 7y - 5y$
$16 = 2y$
$y = \frac{16}{2} = 8$
Теперь, когда мы нашли $y$, сделаем обратную замену, чтобы найти $x$:
$\frac{x}{3} + \frac{x}{6} + 7 = 8$
$\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 8 - 7$
$\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 1$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6:
$\frac{2x}{6} + \frac{x}{6} = 1$
$\frac{3x}{6} = 1$
Сократим дробь:
$\frac{x}{2} = 1$
$x = 2$
Ответ: 2.

б) Данное уравнение: $1 - 2(\frac{x}{5} - \frac{x}{3} - 5) = 14 + (\frac{x}{5} - \frac{x}{3} - 6)$.
Заметим, что в обеих частях уравнения присутствует выражение $\frac{x}{5} - \frac{x}{3}$. Сделаем замену: пусть $y = \frac{x}{5} - \frac{x}{3}$.
Подставим $y$ в уравнение:
$1 - 2(y - 5) = 14 + (y - 6)$
Раскроем скобки:
$1 - 2y + 10 = 14 + y - 6$
Упростим обе части:
$11 - 2y = 8 + y$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа — в другую:
$11 - 8 = y + 2y$
$3 = 3y$
$y = 1$
Теперь выполним обратную замену:
$\frac{x}{5} - \frac{x}{3} = 1$
Приведем к общему знаменателю 15:
$\frac{3x}{15} - \frac{5x}{15} = 1$
$\frac{3x - 5x}{15} = 1$
$\frac{-2x}{15} = 1$
$-2x = 15$
$x = -\frac{15}{2} = -7.5$
Ответ: -7.5.

в) Данное уравнение: $7(2(5x + 1) - 3) - 15 = 4(2(5x + 1) - 3)$.
Здесь повторяется выражение $2(5x + 1) - 3$. Сделаем замену: пусть $y = 2(5x + 1) - 3$.
Уравнение примет вид:
$7y - 15 = 4y$
Решим относительно $y$:
$7y - 4y = 15$
$3y = 15$
$y = 5$
Сделаем обратную замену:
$2(5x + 1) - 3 = 5$
$2(5x + 1) = 8$
$5x + 1 = 4$
$5x = 3$
$x = \frac{3}{5} = 0.6$
Ответ: 0.6.

г) Данное уравнение: $4(3(2x - 1) + 7) - 4 = 3(3(2x - 1) + 6)$.
Повторяющееся выражение здесь — $3(2x - 1)$. Введем замену: пусть $y = 3(2x - 1)$.
Подставим $y$ в уравнение:
$4(y + 7) - 4 = 3(y + 6)$
Раскроем скобки:
$4y + 28 - 4 = 3y + 18$
$4y + 24 = 3y + 18$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$4y - 3y = 18 - 24$
$y = -6$
Теперь выполним обратную замену:
$3(2x - 1) = -6$
Разделим обе части на 3:
$2x - 1 = -2$
$2x = -2 + 1$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2} = -0.5$
Ответ: -0.5.