Номер 6.127, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.127 Докажите, что:

а) $(a+b)(a+b+2c) = (a+b)(a+b+c) + ac + bc$;

б) $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac).$

а) Для доказательства тождества $(a + b)(a + b + 2c) = (a + b)(a + b + c) + ac + bc$ преобразуем его правую часть.

Рассмотрим правую часть равенства: $(a + b)(a + b + c) + ac + bc$.

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $c$:

$(a + b)(a + b + c) + c(a + b)$.

Теперь в выражении есть общий множитель $(a + b)$, который также можно вынести за скобки:

$(a + b)[(a + b + c) + c]$.

Упростим выражение в квадратных скобках, приведя подобные слагаемые:

$(a + b)(a + b + c + c) = (a + b)(a + b + 2c)$.

Полученное выражение полностью совпадает с левой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$ раскроем скобки в правой части выражения.

Правая часть: $(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$.

Умножим каждый член из первой скобки ($a, b, c$) на многочлен во второй скобке:

$a(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) + b(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) + c(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$(a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - abc - a^2c) + (a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - b^2c - abc) + (a^2c + b^2c + c^3 - abc - bc^2 - ac^2)$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$a^3 + b^3 + c^3 + (ab^2 - ab^2) + (ac^2 - ac^2) + (-a^2b + a^2b) + (bc^2 - bc^2) + (-b^2c + b^2c) + (-a^2c + a^2c) - abc - abc - abc$

Все пары слагаемых в скобках взаимно уничтожаются, так как их сумма равна нулю. Остаются следующие члены:

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

Полученное выражение совпадает с левой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.