Номер 6.133, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 6. Многочлены. 6.6. Умножение многочлена на многочлен. Упражнения - номер 6.133, страница 169.

Условие.

6.133 Представьте каждое произведение в виде многочлена:

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4);$

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(4 - x);$

$(1 - x)(x - 2)(x - 3)(4 - x);$

$-(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы представить каждое произведение в виде многочлена, мы будем последовательно раскрывать скобки. Для удобства сначала решим первый пример, а затем будем использовать его результат для решения остальных, так как они тесно связаны.

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

Сначала перемножим первые две скобки и последние две скобки попарно.

1) $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

2) $(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$

Теперь перемножим полученные многочлены:

$(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = x^2(x^2 - 7x + 12) - 3x(x^2 - 7x + 12) + 2(x^2 - 7x + 12) =$
$= (x^4 - 7x^3 + 12x^2) - (3x^3 - 21x^2 + 36x) + (2x^2 - 14x + 24) =$
$= x^4 - 7x^3 + 12x^2 - 3x^3 + 21x^2 - 36x + 2x^2 - 14x + 24$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^4 + (-7x^3 - 3x^3) + (12x^2 + 21x^2 + 2x^2) + (-36x - 14x) + 24 =$
$= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

Ответ: $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(4 - x)

Заметим, что множитель $(4 - x)$ можно представить как $-(x - 4)$. Тогда все выражение можно записать так:

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(-(x - 4)) = -(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$

Это выражение является противоположным выражению из первого пункта. Поэтому, чтобы получить результат, достаточно поменять знаки у всех членов многочлена, полученного в первом решении.

$-(x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) = -x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

Ответ: $-x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

(1 - x)(x - 2)(x - 3)(4 - x)

В этом выражении мы можем вынести знак минус из двух множителей: $(1 - x)$ и $(4 - x)$.

$(1 - x) = -(x - 1)$
$(4 - x) = -(x - 4)$

Подставим эти выражения в исходное произведение:

$(-(x - 1))(x - 2)(x - 3)(-(x - 4)) = (-1) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3) \cdot (-1) \cdot (x - 4)$

Так как $(-1) \cdot (-1) = 1$, произведение становится идентичным выражению из первого пункта:

$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$

Следовательно, результат совпадает с решением первого примера.

Ответ: $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

-(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

Данное выражение представляет собой произведение из первого пункта, взятое со знаком минус.

Используя результат первого решения $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$, мы просто меняем знаки у всех его членов:

$-(x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) = -x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

Ответ: $-x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$