Номер 4, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 6.7. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 6. Многочлены - номер 4, страница 171.

Условие.

Можно ли представить в виде квадрата суммы или разности трёхчлен:

а) $x^2 - 6x + 4$;

б) $a^2 + 6a + 9$;

в) $m^2 - 4m + 2?

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы определить, можно ли представить трехчлен в виде квадрата суммы или разности, необходимо проверить, соответствует ли он одной из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Трехчлен является полным квадратом, если два его члена являются квадратами некоторых выражений, а третий член равен их удвоенному произведению (со знаком «+» или «-»).

а) $x^2 - 6x + 4$

Проверим, соответствует ли данный трехчлен формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член $x^2$ является квадратом выражения $x$, так что можно предположить, что $a=x$.
Третий член $4$ является квадратом числа $2$, так что можно предположить, что $b=2$.
Теперь проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $a$ и $b$:
$2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.
Однако в исходном трехчлене средний член равен $6x$.
Поскольку $6x \neq 4x$, данный трехчлен нельзя представить в виде квадрата разности.

Ответ: нельзя.

б) $a^2 + 6a + 9$

Проверим, соответствует ли данный трехчлен формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Первый член $a^2$ является квадратом выражения $a$. Предположим, $x=a$.
Третий член $9$ является квадратом числа $3$, так как $9 = 3^2$. Предположим, $y=3$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $x$ и $y$:
$2xy = 2 \cdot a \cdot 3 = 6a$.
Этот результат в точности совпадает со средним членом исходного трехчлена.
Следовательно, трехчлен можно представить в виде квадрата суммы: $a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$.

Ответ: можно.

в) $m^2 - 4m + 2$

Проверим, соответствует ли данный трехчлен формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член $m^2$ является квадратом выражения $m$. Предположим, $a=m$.
Если бы это был полный квадрат, то средний член $-4m$ должен был бы быть равен $-2ab$.
$-2 \cdot m \cdot b = -4m$, откуда следует, что $2b = 4$, то есть $b=2$.
Тогда третий член должен быть равен $b^2 = 2^2 = 4$.
Однако в исходном трехчлене третий член равен $2$.
Поскольку $2 \neq 4$, данный трехчлен нельзя представить в виде квадрата разности.

Ответ: нельзя.