Номер 6.139, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.139 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $(a-b)^2 = (b-a)^2$;

б) $(x+y)^2 = (-x-y)^2$.

а) Чтобы доказать тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$, можно преобразовать одну из частей равенства и показать, что она равна другой, или раскрыть скобки в обеих частях.

Способ 1: Раскрытие скобок по формуле сокращенного умножения.

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Раскроем скобки в левой части равенства:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Раскроем скобки в правой части равенства:

$(b-a)^2 = b^2 - 2ba + a^2$.

Так как от перемены мест множителей произведение не меняется ($ab = ba$), а от перемены мест слагаемых сумма не меняется, то $a^2 - 2ab + b^2 = b^2 - 2ba + a^2$. Таким образом, левая и правая части тождества равны.

Способ 2: Вынесение общего множителя.

Преобразуем правую часть равенства. В выражении $(b-a)$ вынесем за скобки $-1$:

$b-a = -1 \cdot (a-b) = -(a-b)$.

Тогда правая часть примет вид:

$(b-a)^2 = (-(a-b))^2$.

По свойству степени, квадрат любого числа равен квадрату противоположного ему числа ($(-z)^2 = z^2$). Следовательно:

$(-(a-b))^2 = (a-b)^2$.

Мы преобразовали правую часть равенства к левой, что и доказывает тождество.

Ответ: Тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$ доказано, так как квадраты противоположных выражений $(a-b)$ и $(b-a)$ равны.

б) Чтобы доказать тождество $(x+y)^2 = (-x-y)^2$, воспользуемся аналогичными методами.

Способ 1: Раскрытие скобок по формуле сокращенного умножения.

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Левая часть уже имеет вид: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Раскроем скобки в правой части равенства, рассматривая ее как $(-x + (-y))^2$:

$(-x-y)^2 = (-x)^2 + 2(-x)(-y) + (-y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Левая и правая части равенства равны, тождество доказано.

Способ 2: Вынесение общего множителя.

Преобразуем правую часть равенства. В выражении $(-x-y)$ вынесем за скобки $-1$:

$-x-y = -1 \cdot (x+y) = -(x+y)$.

Тогда правая часть примет вид:

$(-x-y)^2 = (-(x+y))^2$.

Так как $(-z)^2 = z^2$, получаем:

$(-(x+y))^2 = (x+y)^2$.

Правая часть равенства равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $(x+y)^2 = (-x-y)^2$ доказано, так как квадраты противоположных выражений $(x+y)$ и $(-x-y)$ равны.