Страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Запишите формулы квадрата суммы и квадрата разности. В каждом случае дайте словесную формулировку формулы. Представьте в виде трёхчлена:

а) $(x+y)^2$.

б) $(x-y)^2$.

а) Чтобы представить выражение $(x + y)^2$ в виде трёхчлена, необходимо использовать формулу сокращённого умножения "квадрат суммы".

Словесная формулировка этой формулы звучит так: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

В общем виде формула записывается следующим образом: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применим эту формулу к выражению $(x+y)^2$. В данном случае $a=x$, а $b=y$.

$(x+y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot y + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Таким образом, выражение $(x+y)^2$ представлено в виде трёхчлена $x^2 + 2xy + y^2$.

Ответ: $x^2 + 2xy + y^2$

б) Чтобы представить выражение $(x - y)^2$ в виде трёхчлена, необходимо использовать формулу сокращённого умножения "квадрат разности".

Словесная формулировка этой формулы звучит так: квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

В общем виде формула записывается следующим образом: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Применим эту формулу к выражению $(x-y)^2$. В данном случае $a=x$, а $b=y$.

$(x-y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot y + y^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Таким образом, выражение $(x-y)^2$ представлено в виде трёхчлена $x^2 - 2xy + y^2$.

Ответ: $x^2 - 2xy + y^2$

Докажите формулу:

а) квадрата суммы;

б) квадрата разности.

а) квадрата суммы

Формула квадрата суммы двух выражений a и b имеет вид: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Это тождество означает, что квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Докажем эту формулу двумя способами.

Алгебраическое доказательство:

По определению степени, квадрат выражения — это произведение этого выражения на само себя. Запишем $(a+b)^2$ в виде произведения:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$

Раскроем скобки, используя дистрибутивный закон (правило умножения многочленов): каждый член из первой скобки умножается на каждый член из второй скобки.

$(a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$

Упростим полученное выражение. Так как $b \cdot a = a \cdot b$ (от перестановки множителей произведение не меняется), мы можем записать:

$a^2 + ab + ab + b^2$

Приведем подобные слагаемые ($ab + ab = 2ab$):

$a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали тождество: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Геометрическое доказательство:

Представим квадрат со стороной, равной сумме длин двух отрезков: $(a+b)$. Площадь этого квадрата равна $(a+b)^2$.

Теперь разделим каждую сторону этого квадрата на два отрезка длиной a и b. Проведя через точки деления прямые, параллельные сторонам квадрата, мы разобьем его на четыре меньшие фигуры:

• квадрат со стороной a и площадью $a^2$;
• квадрат со стороной b и площадью $b^2$;
• два одинаковых прямоугольника со сторонами a и b, площадь каждого из которых равна $ab$.

Общая площадь большого квадрата равна сумме площадей этих четырех фигур:

Площадь = $a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.

Так как мы двумя способами выразили площадь одного и того же квадрата, мы можем приравнять полученные выражения:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Формула доказана.

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

б) квадрата разности

Формула квадрата разности двух выражений a и b имеет вид: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Это тождество означает, что квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Докажем это тождество.

Алгебраическое доказательство (способ 1):

По определению степени, запишем $(a-b)^2$ как произведение:

$(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$

Раскроем скобки, последовательно умножая члены:

$(a-b)(a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b)$

Упростим полученное выражение:

$a^2 - ab - ab + b^2$

Приведем подобные слагаемые ($-ab - ab = -2ab$):

$a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали, что $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Алгебраическое доказательство (способ 2):

Этот способ основан на уже доказанной формуле квадрата суммы. Представим разность $a-b$ в виде суммы $a + (-b)$ и применим к ней формулу квадрата суммы:

$(a-b)^2 = (a + (-b))^2$

Используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x=a$ и $y=-b$, получаем:

$(a + (-b))^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (-b) + (-b)^2$

Упростив выражение, получим:

$a^2 - 2ab + b^2$

Это доказывает формулу квадрата разности.

Геометрическое доказательство:

Рассмотрим квадрат со стороной a. Его площадь равна $a^2$. Предположим, что $a > b$. Мы хотим найти площадь квадрата со стороной $(a-b)$.

Чтобы получить квадрат со стороной $(a-b)$ из квадрата со стороной a, нужно "отрезать" от него две полосы шириной b вдоль двух смежных сторон.

Площадь квадрата со стороной $(a-b)$ можно вычислить так: из площади большого квадрата ($a^2$) вычесть площади этих двух полос. Площадь каждой такой полосы (прямоугольника) равна $a \cdot b$.

Однако, когда мы вычитаем $ab$ дважды, мы дважды вычитаем площадь их общего пересечения — небольшого квадрата со стороной b и площадью $b^2$. Чтобы исправить эту ошибку, необходимо один раз вернуть (прибавить) эту площадь.

Таким образом, площадь искомого квадрата равна:

$(a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Формула доказана.

Ответ: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Преобразуйте в трёхчлен выражение, взяв за образец пример 1 или пример 2:

а) $(2a + 3b)^2$; б) $(3a - 4)^2$.

а) Для того чтобы преобразовать выражение $(2a + 3b)^2$ в трёхчлен, необходимо использовать формулу сокращённого умножения "квадрат суммы": $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении в качестве первого слагаемого $x$ выступает $2a$, а в качестве второго слагаемого $y$ выступает $3b$.

Подставим эти значения в формулу и произведём вычисления:

$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

Ответ: $4a^2 + 12ab + 9b^2$.

б) Для того чтобы преобразовать выражение $(3a - 4)^2$ в трёхчлен, необходимо использовать формулу сокращённого умножения "квадрат разности": $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном выражении в качестве уменьшаемого $x$ выступает $3a$, а в качестве вычитаемого $y$ выступает $4$.

Подставим эти значения в формулу и произведём вычисления:

$(3a - 4)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 4 + 4^2 = 9a^2 - 24a + 16$.

Ответ: $9a^2 - 24a + 16$.

Можно ли представить в виде квадрата суммы или разности трёхчлен:

а) $x^2 - 6x + 4$;

б) $a^2 + 6a + 9$;

в) $m^2 - 4m + 2?

Чтобы определить, можно ли представить трехчлен в виде квадрата суммы или разности, необходимо проверить, соответствует ли он одной из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Трехчлен является полным квадратом, если два его члена являются квадратами некоторых выражений, а третий член равен их удвоенному произведению (со знаком «+» или «-»).

а) $x^2 - 6x + 4$

Проверим, соответствует ли данный трехчлен формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член $x^2$ является квадратом выражения $x$, так что можно предположить, что $a=x$.
Третий член $4$ является квадратом числа $2$, так что можно предположить, что $b=2$.
Теперь проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $a$ и $b$:
$2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.
Однако в исходном трехчлене средний член равен $6x$.
Поскольку $6x \neq 4x$, данный трехчлен нельзя представить в виде квадрата разности.

Ответ: нельзя.

б) $a^2 + 6a + 9$

Проверим, соответствует ли данный трехчлен формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Первый член $a^2$ является квадратом выражения $a$. Предположим, $x=a$.
Третий член $9$ является квадратом числа $3$, так как $9 = 3^2$. Предположим, $y=3$.
Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $x$ и $y$:
$2xy = 2 \cdot a \cdot 3 = 6a$.
Этот результат в точности совпадает со средним членом исходного трехчлена.
Следовательно, трехчлен можно представить в виде квадрата суммы: $a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$.

Ответ: можно.

в) $m^2 - 4m + 2$

Проверим, соответствует ли данный трехчлен формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член $m^2$ является квадратом выражения $m$. Предположим, $a=m$.
Если бы это был полный квадрат, то средний член $-4m$ должен был бы быть равен $-2ab$.
$-2 \cdot m \cdot b = -4m$, откуда следует, что $2b = 4$, то есть $b=2$.
Тогда третий член должен быть равен $b^2 = 2^2 = 4$.
Однако в исходном трехчлене третий член равен $2$.
Поскольку $2 \neq 4$, данный трехчлен нельзя представить в виде квадрата разности.

Ответ: нельзя.

6.134 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Запишите следующие выражения:

a) квадрат суммы x и y: $(x+y)^2$

б) сумма квадратов m и n: $m^2 + n^2$

в) квадрат разности m и 3: $(m-3)^2$

г) разность квадратов a и c: $a^2 - c^2$

д) куб суммы y и z: $(y+z)^3$

е) квадрат суммы a, b и c: $(a+b+c)^2$

ж) куб суммы m, n и 1: $(m+n+1)^3$

з) разность кубов x и z: $x^3 - z^3$

а) Квадрат суммы $x$ и $y$ — это выражение, в котором сначала находится сумма чисел, а затем результат возводится во вторую степень (в квадрат). Сумма $x$ и $y$ записывается как $x + y$. Возведение этой суммы в квадрат дает $(x + y)^2$.
Ответ: $(x + y)^2$

б) Сумма квадратов $m$ и $n$ — это выражение, в котором сначала каждое число возводится в квадрат, а затем полученные результаты складываются. Квадрат числа $m$ — это $m^2$, а квадрат числа $n$ — это $n^2$. Их сумма записывается как $m^2 + n^2$.
Ответ: $m^2 + n^2$

в) Квадрат разности $m$ и $3$ — это выражение, где сначала вычисляется разность между $m$ и $3$, а потом результат возводится в квадрат. Разность $m$ и $3$ записывается как $m - 3$. Квадрат этой разности равен $(m - 3)^2$.
Ответ: $(m - 3)^2$

г) Разность квадратов $a$ и $c$ — это выражение, в котором от квадрата числа $a$ вычитается квадрат числа $c$. Сначала каждое число возводится в квадрат: $a^2$ и $c^2$. Затем находится их разность: $a^2 - c^2$.
Ответ: $a^2 - c^2$

д) Куб суммы $y$ и $z$ — это выражение, где сначала находится сумма чисел, а затем результат возводится в третью степень (в куб). Сумма $y$ и $z$ записывается как $y + z$. Возведение этой суммы в куб дает $(y + z)^3$.
Ответ: $(y + z)^3$

е) Квадрат суммы $a, b$ и $c$ — это выражение, в котором сначала находится сумма трех чисел, а затем результат возводится в квадрат. Сумма $a, b$ и $c$ записывается как $a + b + c$. Квадрат этой суммы равен $(a + b + c)^2$.
Ответ: $(a + b + c)^2$

ж) Куб суммы $m, n$ и $1$ — это выражение, где сначала вычисляется сумма трех слагаемых, а потом результат возводится в куб. Сумма $m, n$ и $1$ записывается как $m + n + 1$. Куб этой суммы равен $(m + n + 1)^3$.
Ответ: $(m + n + 1)^3$

з) Разность кубов $x$ и $z$ — это выражение, в котором от куба числа $x$ вычитается куб числа $z$. Сначала каждое число возводится в куб: $x^3$ и $z^3$. Затем находится их разность: $x^3 - z^3$.
Ответ: $x^3 - z^3$