Страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

В произведении $(a + b)(c + d)$ обозначьте двучлен $c + d$ буквой $x$ и проведите преобразования, аналогичные рассмотренным в тексте.

Дано произведение $(a + b)(c + d)$.

Согласно условию задачи, мы обозначаем двучлен $(c + d)$ буквой $x$.

$c + d = x$

Тогда исходное выражение принимает вид:

$(a + b)(c + d) = (a + b)x$

Теперь, используя распределительное свойство умножения, умножим двучлен $(a + b)$ на $x$:

$(a + b)x = a \cdot x + b \cdot x = ax + bx$

Далее выполним обратную подстановку, заменив $x$ на его первоначальное значение $(c + d)$:

$ax + bx = a(c + d) + b(c + d)$

Снова применим распределительное свойство для каждого слагаемого, чтобы раскрыть скобки:

$a(c + d) = ac + ad$

$b(c + d) = bc + bd$

Сложим полученные выражения:

$a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Таким образом, мы выполнили преобразование произведения двух двучленов.

Ответ: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.

Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен. Выполните умножение и прокомментируйте свои действия:

а) $(x + 3)(x + 1);$

б) $(a - 4)(a + 3).$

Правило умножения многочлена на многочлен: чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

а) $(x + 3)(x + 1)$

Для выполнения этого умножения применим указанное правило. Многочлен $(x + 3)$ состоит из членов $x$ и $3$. Многочлен $(x + 1)$ состоит из членов $x$ и $1$.

1. Умножим первый член первого многочлена, $x$, на каждый член второго многочлена: $x \cdot x = x^2$
$x \cdot 1 = x$

2. Умножим второй член первого многочлена, $3$, на каждый член второго многочлена: $3 \cdot x = 3x$
$3 \cdot 1 = 3$

3. Сложим все полученные произведения: $(x + 3)(x + 1) = x^2 + x + 3x + 3$

4. Приведем подобные слагаемые. Подобными слагаемыми являются $x$ и $3x$: $x + 3x = 4x$

В результате получаем итоговый многочлен: $x^2 + 4x + 3$

Ответ: $x^2 + 4x + 3$

б) $(a - 4)(a + 3)$

Применим то же правило для умножения многочленов $(a - 4)$ и $(a + 3)$. Важно правильно учесть знаки. Члены первого многочлена: $a$ и $-4$. Члены второго многочлена: $a$ и $3$.

1. Умножим первый член первого многочлена, $a$, на каждый член второго многочлена: $a \cdot a = a^2$
$a \cdot 3 = 3a$

2. Умножим второй член первого многочлена, $-4$, на каждый член второго многочлена: $(-4) \cdot a = -4a$
$(-4) \cdot 3 = -12$

3. Сложим все полученные произведения: $(a - 4)(a + 3) = a^2 + 3a - 4a - 12$

4. Приведем подобные слагаемые. Подобными слагаемыми являются $3a$ и $-4a$: $3a - 4a = -a$

В результате получаем итоговый многочлен: $a^2 - a - 12$

Ответ: $a^2 - a - 12$

6.111 Представьте произведение в виде многочлена:

а) $(c + 8)(c + 2)$;

б) $(b + 5)(b - 2)$;

в) $(m - 11)(m - 2)$;

г) $(y - 5)(y + 6)$.

Для того чтобы представить произведение в виде многочлена, необходимо каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго и затем сложить полученные произведения. Общая формула выглядит так: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.

а) $(c + 8)(c + 2)$

Применим правило умножения многочленов:

$(c + 8)(c + 2) = c \cdot c + c \cdot 2 + 8 \cdot c + 8 \cdot 2$

Выполним умножение:

$c^2 + 2c + 8c + 16$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $c$ в первой степени):

$c^2 + (2c + 8c) + 16 = c^2 + 10c + 16$

Ответ: $c^2 + 10c + 16$

б) $(b + 5)(b - 2)$

Раскроем скобки, внимательно следя за знаками:

$(b + 5)(b - 2) = b \cdot b + b \cdot (-2) + 5 \cdot b + 5 \cdot (-2)$

Выполним умножение:

$b^2 - 2b + 5b - 10$

Приведем подобные слагаемые:

$b^2 + (-2b + 5b) - 10 = b^2 + 3b - 10$

Ответ: $b^2 + 3b - 10$

в) $(m - 11)(m - 2)$

Раскроем скобки:

$(m - 11)(m - 2) = m \cdot m + m \cdot (-2) - 11 \cdot m + (-11) \cdot (-2)$

Выполним умножение. Обратите внимание, что произведение двух отрицательных чисел дает положительное число:

$m^2 - 2m - 11m + 22$

Приведем подобные слагаемые:

$m^2 + (-2m - 11m) + 22 = m^2 - 13m + 22$

Ответ: $m^2 - 13m + 22$

г) $(y - 5)(y + 6)$

Раскроем скобки:

$(y - 5)(y + 6) = y \cdot y + y \cdot 6 - 5 \cdot y - 5 \cdot 6$

Выполним умножение:

$y^2 + 6y - 5y - 30$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + (6y - 5y) - 30 = y^2 + y - 30$

Ответ: $y^2 + y - 30$

Выполните умножение (6.112—6.113).

6.112

а) $(2m + 1)(2m + 5);$

б) $(3x + 2)(x + 3);$

в) $(5m - 1)(m + 1);$

г) $(4n + 7)(2n - 3);$

д) $(y - 4)(3y - 4);$

е) $(6a - 5)(6a - 1);$

ж) $(2b + 3)(3b - 2);$

з) $(7z - 2)(z - 3).$

а) Чтобы выполнить умножение, раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(2m + 1)(2m + 5) = 2m \cdot 2m + 2m \cdot 5 + 1 \cdot 2m + 1 \cdot 5 = 4m^2 + 10m + 2m + 5$.
Далее приведем подобные слагаемые:
$4m^2 + (10m + 2m) + 5 = 4m^2 + 12m + 5$.
Ответ: $4m^2 + 12m + 5$.

б) Умножим многочлен $(3x + 2)$ на $(x + 3)$ по тому же правилу:
$(3x + 2)(x + 3) = 3x \cdot x + 3x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = 3x^2 + 9x + 2x + 6$.
Сложим подобные слагаемые:
$3x^2 + (9x + 2x) + 6 = 3x^2 + 11x + 6$.
Ответ: $3x^2 + 11x + 6$.

в) Выполним умножение многочленов $(5m - 1)$ и $(m + 1)$:
$(5m - 1)(m + 1) = 5m \cdot m + 5m \cdot 1 - 1 \cdot m - 1 \cdot 1 = 5m^2 + 5m - m - 1$.
Приведем подобные члены:
$5m^2 + (5m - m) - 1 = 5m^2 + 4m - 1$.
Ответ: $5m^2 + 4m - 1$.

г) Раскроем скобки в выражении $(4n + 7)(2n - 3)$:
$(4n + 7)(2n - 3) = 4n \cdot 2n + 4n \cdot (-3) + 7 \cdot 2n + 7 \cdot (-3) = 8n^2 - 12n + 14n - 21$.
Сгруппируем и упростим подобные слагаемые:
$8n^2 + (-12n + 14n) - 21 = 8n^2 + 2n - 21$.
Ответ: $8n^2 + 2n - 21$.

д) Умножим многочлен $(y - 4)$ на $(3y - 4)$:
$(y - 4)(3y - 4) = y \cdot 3y + y \cdot (-4) - 4 \cdot 3y - 4 \cdot (-4) = 3y^2 - 4y - 12y + 16$.
Приведем подобные слагаемые:
$3y^2 + (-4y - 12y) + 16 = 3y^2 - 16y + 16$.
Ответ: $3y^2 - 16y + 16$.

е) Выполним умножение $(6a - 5)(6a - 1)$:
$(6a - 5)(6a - 1) = 6a \cdot 6a + 6a \cdot (-1) - 5 \cdot 6a - 5 \cdot (-1) = 36a^2 - 6a - 30a + 5$.
Упростим, сложив подобные члены:
$36a^2 + (-6a - 30a) + 5 = 36a^2 - 36a + 5$.
Ответ: $36a^2 - 36a + 5$.

ж) Раскроем скобки в выражении $(2b + 3)(3b - 2)$:
$(2b + 3)(3b - 2) = 2b \cdot 3b + 2b \cdot (-2) + 3 \cdot 3b + 3 \cdot (-2) = 6b^2 - 4b + 9b - 6$.
Приведем подобные слагаемые:
$6b^2 + (-4b + 9b) - 6 = 6b^2 + 5b - 6$.
Ответ: $6b^2 + 5b - 6$.

з) Умножим многочлены $(7z - 2)$ и $(z - 3)$:
$(7z - 2)(z - 3) = 7z \cdot z + 7z \cdot (-3) - 2 \cdot z - 2 \cdot (-3) = 7z^2 - 21z - 2z + 6$.
Сгруппируем и упростим подобные слагаемые:
$7z^2 + (-21z - 2z) + 6 = 7z^2 - 23z + 6$.
Ответ: $7z^2 - 23z + 6$.

6.113 а) $(2x - y)(x + y);$

б) $(a + b)(2a + 3b);$

в) $(3c + a)(2c - a);$

г) $(6z - y)(2z - y);$

д) $(5x - c)(x - 5c);$

е) $(4m + 3n)(4m + 3n);$

ж) $(3y - 2v)(3y + 2v);$

з) $(10x + 3z)(10x - 5z).$

а) Чтобы умножить многочлен $(2x - y)$ на многочлен $(x + y)$, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и сложить полученные произведения.

$(2x - y)(x + y) = 2x \cdot x + 2x \cdot y - y \cdot x - y \cdot y = 2x^2 + 2xy - xy - y^2$

Далее приводим подобные слагаемые ($2xy$ и $-xy$):

$2x^2 + (2 - 1)xy - y^2 = 2x^2 + xy - y^2$

Ответ: $2x^2 + xy - y^2$

б) Умножаем многочлен $(a + b)$ на $(2a + 3b)$:

$(a + b)(2a + 3b) = a \cdot 2a + a \cdot 3b + b \cdot 2a + b \cdot 3b = 2a^2 + 3ab + 2ab + 3b^2$

Приводим подобные слагаемые ($3ab$ и $2ab$):

$2a^2 + (3 + 2)ab + 3b^2 = 2a^2 + 5ab + 3b^2$

Ответ: $2a^2 + 5ab + 3b^2$

в) Умножаем многочлен $(3c + a)$ на $(2c - a)$:

$(3c + a)(2c - a) = 3c \cdot 2c + 3c \cdot (-a) + a \cdot 2c + a \cdot (-a) = 6c^2 - 3ac + 2ac - a^2$

Приводим подобные слагаемые ($-3ac$ и $2ac$):

$6c^2 + (-3 + 2)ac - a^2 = 6c^2 - ac - a^2$

Ответ: $6c^2 - ac - a^2$

г) Умножаем многочлен $(6z - y)$ на $(2z - y)$:

$(6z - y)(2z - y) = 6z \cdot 2z + 6z \cdot (-y) - y \cdot 2z - y \cdot (-y) = 12z^2 - 6zy - 2zy + y^2$

Приводим подобные слагаемые ($-6zy$ и $-2zy$):

$12z^2 + (-6 - 2)zy + y^2 = 12z^2 - 8zy + y^2$

Ответ: $12z^2 - 8zy + y^2$

д) Умножаем многочлен $(5x - c)$ на $(x - 5c)$:

$(5x - c)(x - 5c) = 5x \cdot x + 5x \cdot (-5c) - c \cdot x - c \cdot (-5c) = 5x^2 - 25xc - xc + 5c^2$

Приводим подобные слагаемые ($-25xc$ и $-xc$):

$5x^2 + (-25 - 1)xc + 5c^2 = 5x^2 - 26xc + 5c^2$

Ответ: $5x^2 - 26xc + 5c^2$

е) Данное выражение является квадратом суммы $(4m+3n)^2$. Можно использовать формулу сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=4m$ и $b=3n$.

$(4m + 3n)(4m + 3n) = (4m)^2 + 2 \cdot (4m) \cdot (3n) + (3n)^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2$

Либо можно выполнить умножение по общему правилу:

$(4m + 3n)(4m + 3n) = 16m^2 + 12mn + 12mn + 9n^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2$

Ответ: $16m^2 + 24mn + 9n^2$

ж) Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Можно использовать формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=3y$ и $b=2v$.

$(3y - 2v)(3y + 2v) = (3y)^2 - (2v)^2 = 9y^2 - 4v^2$

Либо можно выполнить умножение по общему правилу:

$(3y - 2v)(3y + 2v) = 9y^2 + 6yv - 6yv - 4v^2 = 9y^2 - 4v^2$

Ответ: $9y^2 - 4v^2$

з) Умножаем многочлен $(10x + 3z)$ на $(10x - 5z)$:

$(10x + 3z)(10x - 5z) = 10x \cdot 10x + 10x \cdot (-5z) + 3z \cdot 10x + 3z \cdot (-5z) = 100x^2 - 50xz + 30xz - 15z^2$

Приводим подобные слагаемые ($-50xz$ и $30xz$):

$100x^2 + (-50 + 30)xz - 15z^2 = 100x^2 - 20xz - 15z^2$

Ответ: $100x^2 - 20xz - 15z^2$

6.114 Запишите степень двучлена в виде произведения и выполните умножение:

а) $(x+y)^2$;

б) $(a-c)^2$;

в) $(m+2)^2$;

г) $(1-k)^2$.

а) Запишем степень двучлена в виде произведения двух одинаковых множителей и выполним умножение, умножая каждый член первого двучлена на каждый член второго:

$(x + y)^2 = (x + y)(x + y) = x \cdot x + x \cdot y + y \cdot x + y \cdot y$

Теперь приведем подобные слагаемые ($xy$ и $yx$):

$x^2 + (xy + yx) + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Результат соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: $x^2 + 2xy + y^2$.

б) Представим степень двучлена $(a - c)^2$ в виде произведения и раскроем скобки, учитывая знаки:

$(a - c)^2 = (a - c)(a - c) = a \cdot a + a \cdot (-c) + (-c) \cdot a + (-c) \cdot (-c) = a^2 - ac - ca + c^2$

Приведем подобные слагаемые ($-ac$ и $-ca$):

$a^2 - (ac + ca) + c^2 = a^2 - 2ac + c^2$

Результат соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: $a^2 - 2ac + c^2$.

в) Запишем степень двучлена $(m + 2)^2$ как произведение и выполним умножение:

$(m + 2)^2 = (m + 2)(m + 2) = m \cdot m + m \cdot 2 + 2 \cdot m + 2 \cdot 2 = m^2 + 2m + 2m + 4$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые ($2m$ и $2m$):

$m^2 + (2m + 2m) + 4 = m^2 + 4m + 4$

Ответ: $m^2 + 4m + 4$.

г) Представим степень двучлена $(1 - k)^2$ в виде произведения и выполним умножение:

$(1 - k)^2 = (1 - k)(1 - k) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-k) + (-k) \cdot 1 + (-k) \cdot (-k) = 1 - k - k + k^2$

Приведем подобные слагаемые ($-k$ и $-k$):

$1 - (k + k) + k^2 = 1 - 2k + k^2$

Ответ: $1 - 2k + k^2$.

6.115 Преобразуйте в многочлен:

а) $(x^2 + 1)(x^2 + 2);$

б) $(a^2 - 1)(a^3 - 1);$

в) $(3 + b^3)(b^3 - 4);$

г) $(2y^2 - 3)(y^2 + 2);$

д) $(a^2 - b^2)(a - b);$

е) $(m^2 + 3n)(m^2 - n);$

ж) $(a + 2n^2)(a^2 + n);$

з) $(x^2 - a)(x^2 + a);$

и) $(3 + c^3)(5 - c^2).$

а) Чтобы преобразовать выражение $(x^2 + 1)(x^2 + 2)$ в многочлен, нужно каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго двучлена и затем привести подобные слагаемые. Для этого используем правило умножения многочленов:

$(x^2 + 1)(x^2 + 2) = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot 2 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot 2 = x^4 + 2x^2 + x^2 + 2$

Приводим подобные слагаемые $2x^2$ и $x^2$:

$x^4 + (2+1)x^2 + 2 = x^4 + 3x^2 + 2$

Ответ: $x^4 + 3x^2 + 2$

б) Раскрываем скобки в выражении $(a^2 - 1)(a^3 - 1)$, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(a^2 - 1)(a^3 - 1) = a^2 \cdot a^3 + a^2 \cdot (-1) - 1 \cdot a^3 - 1 \cdot (-1) = a^5 - a^2 - a^3 + 1$

Подобных слагаемых нет. Для представления в стандартном виде расположим члены многочлена в порядке убывания степеней переменной $a$:

$a^5 - a^3 - a^2 + 1$

Ответ: $a^5 - a^3 - a^2 + 1$

в) Раскрываем скобки в выражении $(3 + b^3)(b^3 - 4)$:

$(3 + b^3)(b^3 - 4) = 3 \cdot b^3 + 3 \cdot (-4) + b^3 \cdot b^3 + b^3 \cdot (-4) = 3b^3 - 12 + b^6 - 4b^3$

Приводим подобные слагаемые $3b^3$ и $-4b^3$ и располагаем члены в порядке убывания степеней:

$b^6 + (3b^3 - 4b^3) - 12 = b^6 - b^3 - 12$

Ответ: $b^6 - b^3 - 12$

г) Раскрываем скобки в выражении $(2y^2 - 3)(y^2 + 2)$:

$(2y^2 - 3)(y^2 + 2) = 2y^2 \cdot y^2 + 2y^2 \cdot 2 - 3 \cdot y^2 - 3 \cdot 2 = 2y^4 + 4y^2 - 3y^2 - 6$

Приводим подобные слагаемые $4y^2$ и $-3y^2$:

$2y^4 + (4y^2 - 3y^2) - 6 = 2y^4 + y^2 - 6$

Ответ: $2y^4 + y^2 - 6$

д) Раскрываем скобки в выражении $(a^2 - b^2)(a - b)$:

$(a^2 - b^2)(a - b) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-b) - b^2 \cdot a - b^2 \cdot (-b) = a^3 - a^2b - ab^2 + b^3$

В полученном многочлене подобных слагаемых нет.

Ответ: $a^3 - a^2b - ab^2 + b^3$

е) Раскрываем скобки в выражении $(m^2 + 3n)(m^2 - n)$:

$(m^2 + 3n)(m^2 - n) = m^2 \cdot m^2 + m^2 \cdot (-n) + 3n \cdot m^2 + 3n \cdot (-n) = m^4 - m^2n + 3m^2n - 3n^2$

Приводим подобные слагаемые $-m^2n$ и $3m^2n$:

$m^4 + (-m^2n + 3m^2n) - 3n^2 = m^4 + 2m^2n - 3n^2$

Ответ: $m^4 + 2m^2n - 3n^2$

ж) Раскрываем скобки в выражении $(a + 2n^2)(a^2 + n)$:

$(a + 2n^2)(a^2 + n) = a \cdot a^2 + a \cdot n + 2n^2 \cdot a^2 + 2n^2 \cdot n = a^3 + an + 2a^2n^2 + 2n^3$

Подобных слагаемых нет. Для стандартного вида расположим члены в порядке убывания степеней переменной $a$:

$a^3 + 2a^2n^2 + an + 2n^3$

Ответ: $a^3 + 2a^2n^2 + an + 2n^3$

з) Выражение $(x^2 - a)(x^2 + a)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Для его преобразования применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

В данном случае $A = x^2$ и $B = a$.

$(x^2 - a)(x^2 + a) = (x^2)^2 - a^2 = x^4 - a^2$

Ответ: $x^4 - a^2$

и) Раскрываем скобки в выражении $(3 + c^3)(5 - c^2)$:

$(3 + c^3)(5 - c^2) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-c^2) + c^3 \cdot 5 + c^3 \cdot (-c^2) = 15 - 3c^2 + 5c^3 - c^5$

Подобных слагаемых нет. Для представления в стандартном виде расположим члены многочлена в порядке убывания степеней переменной $c$:

$-c^5 + 5c^3 - 3c^2 + 15$

Ответ: $-c^5 + 5c^3 - 3c^2 + 15$

6.116 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Иногда удобно умножать многочлены в столбик, подписывая многочлены один под другим и умножая по очереди слева направо каждый член первого многочлена на второй многочлен:

$2a + 3$
$\times$ $5a - 1$
-------------------------
$10a^2 - 2a$ — умножили $2a$ на $5a - 1$
$15a - 3$ — умножили $3$ на $5a - 1$
-------------------------
$10a^2 + 13a - 3$

Выполните таким образом умножение:

a) $(2m^2 - 5)(m^2 - 2)$;

б) $(y + 1)(y^2 + 4y - 3).$

а)

Чтобы выполнить умножение $(2m^2 - 5)(m^2 - 2)$ в столбик, следуем методу, показанному в примере. Мы поочередно умножаем каждый член первого многочлена на весь второй многочлен.

1. Сначала умножим первый член многочлена $(2m^2 - 5)$, то есть $2m^2$, на многочлен $(m^2 - 2)$:
$2m^2 \cdot (m^2 - 2) = 2m^2 \cdot m^2 + 2m^2 \cdot (-2) = 2m^4 - 4m^2$.

2. Затем умножим второй член многочлена $(2m^2 - 5)$, то есть $-5$, на многочлен $(m^2 - 2)$:
$-5 \cdot (m^2 - 2) = -5 \cdot m^2 - 5 \cdot (-2) = -5m^2 + 10$.

3. Теперь сложим полученные произведения. Для этого запишем их в столбик, располагая подобные слагаемые (члены с одинаковой степенью переменной) друг под другом, и выполним сложение.

В результате сложения подобных членов ($-4m^2$ и $-5m^2$) получаем $-9m^2$.

Ответ: $2m^4 - 9m^2 + 10$.

б)

Выполним умножение $(y + 1)(y^2 + 4y - 3)$ в столбик по тому же принципу.

1. Умножим первый член многочлена $(y + 1)$, то есть $y$, на многочлен $(y^2 + 4y - 3)$:
$y \cdot (y^2 + 4y - 3) = y \cdot y^2 + y \cdot 4y + y \cdot (-3) = y^3 + 4y^2 - 3y$.

2. Умножим второй член многочлена $(y + 1)$, то есть $1$, на многочлен $(y^2 + 4y - 3)$:
$1 \cdot (y^2 + 4y - 3) = y^2 + 4y - 3$.

3. Сложим полученные результаты, записав их в столбик и выровняв подобные слагаемые:

Приводим подобные слагаемые: $4y^2 + y^2 = 5y^2$ и $-3y + 4y = y$.

Ответ: $y^3 + 5y^2 + y - 3$.