Номер 6.115, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.115 Преобразуйте в многочлен:

а) $(x^2 + 1)(x^2 + 2);$

б) $(a^2 - 1)(a^3 - 1);$

в) $(3 + b^3)(b^3 - 4);$

г) $(2y^2 - 3)(y^2 + 2);$

д) $(a^2 - b^2)(a - b);$

е) $(m^2 + 3n)(m^2 - n);$

ж) $(a + 2n^2)(a^2 + n);$

з) $(x^2 - a)(x^2 + a);$

и) $(3 + c^3)(5 - c^2).$

а) Чтобы преобразовать выражение $(x^2 + 1)(x^2 + 2)$ в многочлен, нужно каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго двучлена и затем привести подобные слагаемые. Для этого используем правило умножения многочленов:

$(x^2 + 1)(x^2 + 2) = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot 2 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot 2 = x^4 + 2x^2 + x^2 + 2$

Приводим подобные слагаемые $2x^2$ и $x^2$:

$x^4 + (2+1)x^2 + 2 = x^4 + 3x^2 + 2$

Ответ: $x^4 + 3x^2 + 2$

б) Раскрываем скобки в выражении $(a^2 - 1)(a^3 - 1)$, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(a^2 - 1)(a^3 - 1) = a^2 \cdot a^3 + a^2 \cdot (-1) - 1 \cdot a^3 - 1 \cdot (-1) = a^5 - a^2 - a^3 + 1$

Подобных слагаемых нет. Для представления в стандартном виде расположим члены многочлена в порядке убывания степеней переменной $a$:

$a^5 - a^3 - a^2 + 1$

Ответ: $a^5 - a^3 - a^2 + 1$

в) Раскрываем скобки в выражении $(3 + b^3)(b^3 - 4)$:

$(3 + b^3)(b^3 - 4) = 3 \cdot b^3 + 3 \cdot (-4) + b^3 \cdot b^3 + b^3 \cdot (-4) = 3b^3 - 12 + b^6 - 4b^3$

Приводим подобные слагаемые $3b^3$ и $-4b^3$ и располагаем члены в порядке убывания степеней:

$b^6 + (3b^3 - 4b^3) - 12 = b^6 - b^3 - 12$

Ответ: $b^6 - b^3 - 12$

г) Раскрываем скобки в выражении $(2y^2 - 3)(y^2 + 2)$:

$(2y^2 - 3)(y^2 + 2) = 2y^2 \cdot y^2 + 2y^2 \cdot 2 - 3 \cdot y^2 - 3 \cdot 2 = 2y^4 + 4y^2 - 3y^2 - 6$

Приводим подобные слагаемые $4y^2$ и $-3y^2$:

$2y^4 + (4y^2 - 3y^2) - 6 = 2y^4 + y^2 - 6$

Ответ: $2y^4 + y^2 - 6$

д) Раскрываем скобки в выражении $(a^2 - b^2)(a - b)$:

$(a^2 - b^2)(a - b) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-b) - b^2 \cdot a - b^2 \cdot (-b) = a^3 - a^2b - ab^2 + b^3$

В полученном многочлене подобных слагаемых нет.

Ответ: $a^3 - a^2b - ab^2 + b^3$

е) Раскрываем скобки в выражении $(m^2 + 3n)(m^2 - n)$:

$(m^2 + 3n)(m^2 - n) = m^2 \cdot m^2 + m^2 \cdot (-n) + 3n \cdot m^2 + 3n \cdot (-n) = m^4 - m^2n + 3m^2n - 3n^2$

Приводим подобные слагаемые $-m^2n$ и $3m^2n$:

$m^4 + (-m^2n + 3m^2n) - 3n^2 = m^4 + 2m^2n - 3n^2$

Ответ: $m^4 + 2m^2n - 3n^2$

ж) Раскрываем скобки в выражении $(a + 2n^2)(a^2 + n)$:

$(a + 2n^2)(a^2 + n) = a \cdot a^2 + a \cdot n + 2n^2 \cdot a^2 + 2n^2 \cdot n = a^3 + an + 2a^2n^2 + 2n^3$

Подобных слагаемых нет. Для стандартного вида расположим члены в порядке убывания степеней переменной $a$:

$a^3 + 2a^2n^2 + an + 2n^3$

Ответ: $a^3 + 2a^2n^2 + an + 2n^3$

з) Выражение $(x^2 - a)(x^2 + a)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Для его преобразования применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

В данном случае $A = x^2$ и $B = a$.

$(x^2 - a)(x^2 + a) = (x^2)^2 - a^2 = x^4 - a^2$

Ответ: $x^4 - a^2$

и) Раскрываем скобки в выражении $(3 + c^3)(5 - c^2)$:

$(3 + c^3)(5 - c^2) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-c^2) + c^3 \cdot 5 + c^3 \cdot (-c^2) = 15 - 3c^2 + 5c^3 - c^5$

Подобных слагаемых нет. Для представления в стандартном виде расположим члены многочлена в порядке убывания степеней переменной $c$:

$-c^5 + 5c^3 - 3c^2 + 15$

Ответ: $-c^5 + 5c^3 - 3c^2 + 15$