Номер 6.110, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 6. Многочлены. 6.5. Умножение одночлена на многочлен. Упражнения - номер 6.110, страница 165.

Условие.

6.110 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Найдите значение выражения при заданном значении переменной:

a) $c(3c^2 - 5c - 1) - 4c(3c^2 - 5c - 2) + 3c(3c^2 - 5c + 1); c = 2,75;$

б) $2m(3 - m + 5m^2) + 3m(1 - m + 5m^2) - 5m(5m^2 - m); m = \frac{1}{6};$

в) $3a(a^2 + 3a + 2) - 4a(a^2 + 3a + 1) + 2a(a^2 + 3a - 1); a = -5.$

Образец.

Преобразования можно сделать проще, если ввести замену. Например, в п. а обозначьте $3c^2 - 5c$ буквой $x$ и запишите выражение в виде

$c(x - 1) - 4c(x - 2) + 3c(x + 1) = \dots$

Закончите преобразование.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $c(3c^2 - 5c - 1) - 4c(3c^2 - 5c - 2) + 3c(3c^2 - 5c + 1)$; при $c = 2,75$.

Чтобы упростить выражение, введем замену, как предложено в образце. Пусть $x = 3c^2 - 5c$. Тогда выражение можно переписать в следующем виде:

$c(x - 1) - 4c(x - 2) + 3c(x + 1)$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$cx - c - 4cx + 8c + 3cx + 3c$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и без нее:

$(cx - 4cx + 3cx) + (-c + 8c + 3c) = 0 \cdot x + 10c = 10c$

Выражение упростилось до $10c$. Теперь подставим заданное значение $c = 2,75$:

$10 \cdot 2,75 = 27,5$

Ответ: 27,5

б) $2m(3 - m + 5m^2) + 3m(1 - m + 5m^2) - 5m(5m^2 - m)$; при $m = \frac{1}{6}$.

Заметим, что во всех слагаемых присутствует выражение $5m^2 - m$. Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы это стало очевиднее:

$2m(3 + (5m^2 - m)) + 3m(1 + (5m^2 - m)) - 5m(5m^2 - m)$

Введем замену. Пусть $y = 5m^2 - m$. Подставим $y$ в выражение:

$2m(3 + y) + 3m(1 + y) - 5my$

Раскроем скобки:

$6m + 2my + 3m + 3my - 5my$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6m + 3m) + (2my + 3my - 5my) = 9m + 0 \cdot y = 9m$

Выражение упростилось до $9m$. Подставим значение $m = \frac{1}{6}$:

$9 \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5

в) $3a(a^2 + 3a + 2) - 4a(a^2 + 3a + 1) + 2a(a^2 + 3a - 1)$; при $a = -5$.

В этом выражении общая часть в скобках — это $a^2 + 3a$. Введем замену. Пусть $z = a^2 + 3a$. Тогда выражение примет вид:

$3a(z + 2) - 4a(z + 1) + 2a(z - 1)$

Раскроем скобки:

$3az + 6a - 4az - 4a + 2az - 2a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3az - 4az + 2az) + (6a - 4a - 2a) = (3 - 4 + 2)az + (6 - 4 - 2)a = 1 \cdot az + 0 \cdot a = az$

Выражение упростилось до $az$. Теперь выполним обратную замену, подставив $a^2 + 3a$ вместо $z$:

$a(a^2 + 3a) = a^3 + 3a^2$

Теперь подставим заданное значение $a = -5$ в упрощенное выражение:

$(-5)^3 + 3(-5)^2 = -125 + 3 \cdot 25 = -125 + 75 = -50$

Ответ: -50