Номер 6.107, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.107 Докажите, что:

а) если $a + b + c = 0$, то

$a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc;$

б) если $ab + ac + bc = 0$, то

$a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 + b^2 + c^2.$

а)

Требуется доказать, что если $a + b + c = 0$, то $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки в выражении $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1)$:

$a \cdot bc - a \cdot 1 + b \cdot ac - b \cdot 1 + c \cdot ab - c \cdot 1 = abc - a + abc - b + abc - c$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$(abc + abc + abc) + (-a - b - c) = 3abc - (a + b + c)$

По условию задачи нам дано, что $a + b + c = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$3abc - (0) = 3abc$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc$ верно при условии $a + b + c = 0$.

б)

Требуется доказать, что если $ab + ac + bc = 0$, то $a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 + b^2 + c^2$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки в выражении $a(a - b) + b(b - c) + c(c - a)$:

$a \cdot a - a \cdot b + b \cdot b - b \cdot c + c \cdot c - c \cdot a = a^2 - ab + b^2 - bc + c^2 - ca$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(a^2 + b^2 + c^2) - ab - bc - ca = (a^2 + b^2 + c^2) - (ab + bc + ac)$

По условию задачи нам дано, что $ab + ac + bc = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$(a^2 + b^2 + c^2) - (0) = a^2 + b^2 + c^2$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество $a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 + b^2 + c^2$ верно при условии $ab + ac + bc = 0$.