Номер 6.102, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.102 Представьте в виде многочлена стандартного вида:

а) $x(2x^2 - 3x + 1) + 2x(3 + 2x - x^2)$;

б) $m(m^2 - mn + n^2) - n(m^2 + mn + n^2)$;

в) $2p(1 - p - 3p^2) - 3p(2 - p - 2p^2)$;

г) $2c(5a - 3c^2) - c(a - 6c^2) + 3a(a - c)$.

а) Чтобы представить выражение $x(2x^2 - 3x + 1) + 2x(3 + 2x - x^2)$ в виде многочлена стандартного вида, нужно выполнить следующие шаги:
1. Раскрыть скобки, умножив одночлены перед скобками на каждый член многочлена в скобках:
$x \cdot 2x^2 + x \cdot (-3x) + x \cdot 1 + 2x \cdot 3 + 2x \cdot 2x + 2x \cdot (-x^2) = 2x^3 - 3x^2 + x + 6x + 4x^2 - 2x^3$
2. Привести подобные слагаемые. Для этого сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной $x$:
$(2x^3 - 2x^3) + (-3x^2 + 4x^2) + (x + 6x)$
3. Выполнить сложение и вычитание в каждой группе:
$0 \cdot x^3 + 1 \cdot x^2 + 7x = x^2 + 7x$
Полученный многочлен $x^2 + 7x$ является многочленом стандартного вида, так как все его члены записаны в стандартном виде и расположены в порядке убывания степеней переменной.
Ответ: $x^2 + 7x$

б) Представим выражение $m(m^2 - mn + n^2) - n(m^2 + mn + n^2)$ в виде многочлена стандартного вида.
1. Раскроем скобки:
$m \cdot m^2 + m \cdot (-mn) + m \cdot n^2 - (n \cdot m^2 + n \cdot mn + n \cdot n^2) = m^3 - m^2n + mn^2 - nm^2 - n^2m - n^3$
2. Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены:
$m^3 + (-m^2n - m^2n) + (mn^2 - mn^2) - n^3$
3. Упростим выражение:
$m^3 - 2m^2n + 0 - n^3 = m^3 - 2m^2n - n^3$
Ответ: $m^3 - 2m^2n - n^3$

в) Представим выражение $2p(1 - p - 3p^2) - 3p(2 - p - 2p^2)$ в виде многочлена стандартного вида.
1. Раскроем скобки:
$2p \cdot 1 + 2p \cdot (-p) + 2p \cdot (-3p^2) - (3p \cdot 2 + 3p \cdot (-p) + 3p \cdot (-2p^2)) = 2p - 2p^2 - 6p^3 - 6p + 3p^2 + 6p^3$
2. Сгруппируем подобные слагаемые в порядке убывания степеней:
$(-6p^3 + 6p^3) + (-2p^2 + 3p^2) + (2p - 6p)$
3. Выполним действия:
$0 \cdot p^3 + 1 \cdot p^2 - 4p = p^2 - 4p$
Ответ: $p^2 - 4p$

г) Представим выражение $2c(5a - 3c^2) - c(a - 6c^2) + 3a(a - c)$ в виде многочлена стандартного вида.
1. Раскроем все скобки:
$2c \cdot 5a + 2c \cdot (-3c^2) - (c \cdot a + c \cdot (-6c^2)) + 3a \cdot a + 3a \cdot (-c) = 10ac - 6c^3 - ac + 6c^3 + 3a^2 - 3ac$
2. Приведем подобные слагаемые. Для стандартного вида расположим члены в лексикографическом порядке ($a$ перед $c$) и по убыванию степеней:
$3a^2 + (10ac - ac - 3ac) + (-6c^3 + 6c^3)$
3. Упростим выражение:
$3a^2 + (10-1-3)ac + (-6+6)c^3 = 3a^2 + 6ac + 0 \cdot c^3 = 3a^2 + 6ac$
Ответ: $3a^2 + 6ac$