Номер 6.109, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, голубой, оранжевый с галочкой

ISBN: 978-5-09-106179-6

Популярные ГДЗ в 7 классе

Упражнения. 6.5. Умножение одночлена на многочлен. Глава 6. Многочлены - номер 6.109, страница 165.

№6.109 (с. 165)
Условие. №6.109 (с. 165)
скриншот условия
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 165, номер 6.109, Условие

6.109 Докажите, что если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то:

а) $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $; б) $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $; в) $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} $.

Проиллюстрируйте доказанное утверждение примером.

Решение 2. №6.109 (с. 165)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 165, номер 6.109, Решение 2 Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 165, номер 6.109, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 165, номер 6.109, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 3. №6.109 (с. 165)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 165, номер 6.109, Решение 3
Решение 5. №6.109 (с. 165)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Суворова Светлана Борисовна, Бунимович Евгений Абрамович, Кузнецова Людмила Викторовна, Минаева Светлана Станиславовна, Рослова Лариса Олеговна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 165, номер 6.109, Решение 5
Решение 6. №6.109 (с. 165)

а)

Требуется доказать, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$.

Начнем с исходного равенства $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Прибавим к обеим частям равенства единицу:

$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$

Приведем левую и правую части к общему знаменателю:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$

После сложения дробей получаем:

$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

Равенство доказано.

Ответ: утверждение доказано.

б)

Требуется доказать, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.

Снова используем исходное равенство $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Вычтем из обеих частей равенства единицу:

$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$

Приведем левую и правую части к общему знаменателю:

$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$

После вычитания дробей получаем:

$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

Равенство доказано.

Ответ: утверждение доказано.

в)

Требуется доказать, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$.

Введем коэффициент пропорциональности $k$, такой что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$.

Из этого соотношения можно выразить $a$ и $c$: $a = bk$ и $c = dk$.

Подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства:

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d}$

Вынесем общий множитель $k$ в числителе за скобки:

$\frac{k(b+d)}{b+d}$

При условии, что $b+d \neq 0$, сократим дробь на $(b+d)$ и получим $k$.

Поскольку по определению $k = \frac{a}{b}$, мы доказали, что:

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$

Равенство доказано.

Ответ: утверждение доказано.

Иллюстрация на примере

Проиллюстрируем доказанные утверждения, взяв верную пропорцию $\frac{8}{4} = \frac{6}{3}$. Здесь $a=8, b=4, c=6, d=3$. Обе части пропорции равны 2.

а) Проверяем равенство $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$:

Левая часть: $\frac{8+4}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Правая часть: $\frac{6+3}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

$3=3$, равенство выполняется.

б) Проверяем равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$:

Левая часть: $\frac{8-4}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Правая часть: $\frac{6-3}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

$1=1$, равенство выполняется.

в) Проверяем равенство $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$:

Левая часть: $\frac{8+6}{4+3} = \frac{14}{7} = 2$.

Правая часть: $\frac{8}{4} = 2$.

$2=2$, равенство выполняется.

Пример подтверждает справедливость всех трех доказанных утверждений.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 6.109 расположенного на странице 165 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.109 (с. 165), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.