Номер 6.109, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, голубой, оранжевый с галочкой
ISBN: 978-5-09-106179-6
Популярные ГДЗ в 7 классе
Упражнения. 6.5. Умножение одночлена на многочлен. Глава 6. Многочлены - номер 6.109, страница 165.
№6.109 (с. 165)
Условие. №6.109 (с. 165)
скриншот условия

6.109 Докажите, что если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то:
а) $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $; б) $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $; в) $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} $.
Проиллюстрируйте доказанное утверждение примером.
Решение 2. №6.109 (с. 165)



Решение 3. №6.109 (с. 165)

Решение 5. №6.109 (с. 165)

Решение 6. №6.109 (с. 165)
а)
Требуется доказать, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$.
Начнем с исходного равенства $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
Прибавим к обеим частям равенства единицу:
$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$
Приведем левую и правую части к общему знаменателю:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$
После сложения дробей получаем:
$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$
Равенство доказано.
Ответ: утверждение доказано.
б)
Требуется доказать, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.
Снова используем исходное равенство $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
Вычтем из обеих частей равенства единицу:
$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$
Приведем левую и правую части к общему знаменателю:
$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$
После вычитания дробей получаем:
$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$
Равенство доказано.
Ответ: утверждение доказано.
в)
Требуется доказать, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$.
Введем коэффициент пропорциональности $k$, такой что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$.
Из этого соотношения можно выразить $a$ и $c$: $a = bk$ и $c = dk$.
Подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства:
$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d}$
Вынесем общий множитель $k$ в числителе за скобки:
$\frac{k(b+d)}{b+d}$
При условии, что $b+d \neq 0$, сократим дробь на $(b+d)$ и получим $k$.
Поскольку по определению $k = \frac{a}{b}$, мы доказали, что:
$\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$
Равенство доказано.
Ответ: утверждение доказано.
Иллюстрация на примере
Проиллюстрируем доказанные утверждения, взяв верную пропорцию $\frac{8}{4} = \frac{6}{3}$. Здесь $a=8, b=4, c=6, d=3$. Обе части пропорции равны 2.
а) Проверяем равенство $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$:
Левая часть: $\frac{8+4}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Правая часть: $\frac{6+3}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
$3=3$, равенство выполняется.
б) Проверяем равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$:
Левая часть: $\frac{8-4}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Правая часть: $\frac{6-3}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
$1=1$, равенство выполняется.
в) Проверяем равенство $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$:
Левая часть: $\frac{8+6}{4+3} = \frac{14}{7} = 2$.
Правая часть: $\frac{8}{4} = 2$.
$2=2$, равенство выполняется.
Пример подтверждает справедливость всех трех доказанных утверждений.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 6.109 расположенного на странице 165 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.109 (с. 165), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.