Номер 6.109, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 6. Многочлены. 6.5. Умножение одночлена на многочлен. Упражнения - номер 6.109, страница 165.

Условие.

6.109 Докажите, что если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то:

а) $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $; б) $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $; в) $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} $.

Проиллюстрируйте доказанное утверждение примером.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Требуется доказать, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$.

Начнем с исходного равенства $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Прибавим к обеим частям равенства единицу:

$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$

Приведем левую и правую части к общему знаменателю:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$

После сложения дробей получаем:

$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

Равенство доказано.

Ответ: утверждение доказано.

б)

Требуется доказать, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.

Снова используем исходное равенство $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Вычтем из обеих частей равенства единицу:

$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$

Приведем левую и правую части к общему знаменателю:

$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$

После вычитания дробей получаем:

$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

Равенство доказано.

Ответ: утверждение доказано.

в)

Требуется доказать, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$.

Введем коэффициент пропорциональности $k$, такой что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$.

Из этого соотношения можно выразить $a$ и $c$: $a = bk$ и $c = dk$.

Подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства:

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d}$

Вынесем общий множитель $k$ в числителе за скобки:

$\frac{k(b+d)}{b+d}$

При условии, что $b+d \neq 0$, сократим дробь на $(b+d)$ и получим $k$.

Поскольку по определению $k = \frac{a}{b}$, мы доказали, что:

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$

Равенство доказано.

Ответ: утверждение доказано.

Иллюстрация на примере

Проиллюстрируем доказанные утверждения, взяв верную пропорцию $\frac{8}{4} = \frac{6}{3}$. Здесь $a=8, b=4, c=6, d=3$. Обе части пропорции равны 2.

а) Проверяем равенство $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$:

Левая часть: $\frac{8+4}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Правая часть: $\frac{6+3}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

$3=3$, равенство выполняется.

б) Проверяем равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$:

Левая часть: $\frac{8-4}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Правая часть: $\frac{6-3}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

$1=1$, равенство выполняется.

в) Проверяем равенство $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$:

Левая часть: $\frac{8+6}{4+3} = \frac{14}{7} = 2$.

Правая часть: $\frac{8}{4} = 2$.

$2=2$, равенство выполняется.

Пример подтверждает справедливость всех трех доказанных утверждений.