Номер 6.106, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.5. Умножение одночлена на многочлен. Глава 6. Многочлены - номер 6.106, страница 165.

Условие.

6.106 Докажите, что:

а) $a(b - c + d) - b(c - d + a) + c(a + b - d) - d(a + b - c) = 0;$

б) $xyz(x - 1) - xyz(y - 1) - xyz(z - 1) - xyz = xyz(x - y - z).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, используя распределительный закон умножения:

$a(b - c + d) - b(c - d + a) + c(a + b - d) - d(a + b - c) =$

$= (ab - ac + ad) - (bc - bd + ab) + (ac + bc - cd) - (ad + bd - cd) =$

Теперь раскроем скобки, меняя знаки там, где перед скобкой стоит минус:

$= ab - ac + ad - bc + bd - ab + ac + bc - cd - ad - bd + cd$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= (ab - ab) + (-ac + ac) + (ad - ad) + (-bc + bc) + (bd - bd) + (-cd + cd) =$

$= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Левая часть выражения равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Равенство $a(b - c + d) - b(c - d + a) + c(a + b - d) - d(a + b - c) = 0$ является верным.

б) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Заметим, что каждый член левой части содержит общий множитель $xyz$. Вынесем его за скобки:

$xyz(x - 1) - xyz(y - 1) - xyz(z - 1) - xyz =$

$= xyz \cdot [(x - 1) - (y - 1) - (z - 1) - 1]$

Теперь упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки:

$(x - 1) - (y - 1) - (z - 1) - 1 = x - 1 - y + 1 - z + 1 - 1$

Приведем подобные слагаемые (числа):

$x - y - z + (-1 + 1 + 1 - 1) = x - y - z + 0 = x - y - z$

Подставим полученное выражение обратно в преобразованную левую часть:

$xyz \cdot (x - y - z) = xyz(x - y - z)$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства. Тождество доказано.
Ответ: Равенство $xyz(x - 1) - xyz(y - 1) - xyz(z - 1) - xyz = xyz(x - y - z)$ является верным.