Номер 6.105, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.5. Умножение одночлена на многочлен. Глава 6. Многочлены - номер 6.105, страница 165.

6.105 Решите уравнение:

а) $\frac{1}{3}(x + 1) - \frac{2}{3}(x - 1) = \frac{2}{3}(x - 3);$

б) $\frac{1}{2}(3x + 7) - \frac{3}{4}(2x - 2) = \frac{3}{4}(x + 1);$

в) $x(x - 3) + x(2x - 1) = 3x(x - 2) - 3;$

г) $3 + 2x(3x - 4) = 4x(2x + 5) - 2x(x - 1);$

д) $x(x + 1)(x - 10) = (x - 1)(x - 3)(x - 5);$

е) $(x - 1)(x - 4)(x + 7) = x(x + 1)^2.$

а) $\frac{1}{3}(x + 1) - \frac{2}{3}(x - 1) = \frac{2}{3}(x - 3)$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель 3:
$3 \cdot \frac{1}{3}(x + 1) - 3 \cdot \frac{2}{3}(x - 1) = 3 \cdot \frac{2}{3}(x - 3)$
$1(x + 1) - 2(x - 1) = 2(x - 3)$
Раскроем скобки:
$x + 1 - 2x + 2 = 2x - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$-x + 3 = 2x - 6$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$3 + 6 = 2x + x$
$9 = 3x$
$x = \frac{9}{3}$
$x = 3$
Ответ: 3

б) $\frac{1}{2}(3x + 7) - \frac{3}{4}(2x - 2) = \frac{3}{4}(x + 1)$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель 4:
$4 \cdot \frac{1}{2}(3x + 7) - 4 \cdot \frac{3}{4}(2x - 2) = 4 \cdot \frac{3}{4}(x + 1)$
$2(3x + 7) - 3(2x - 2) = 3(x + 1)$
Раскроем скобки:
$6x + 14 - 6x + 6 = 3x + 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$20 = 3x + 3$
Перенесем 3 в левую часть:
$20 - 3 = 3x$
$17 = 3x$
$x = \frac{17}{3}$
Ответ: $\frac{17}{3}$

в) $x(x - 3) + x(2x - 1) = 3x(x - 2) - 3$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 3x + 2x^2 - x = 3x^2 - 6x - 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3x^2 - 4x = 3x^2 - 6x - 3$
Вычтем $3x^2$ из обеих частей уравнения:
$-4x = -6x - 3$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:
$-4x + 6x = -3$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
$x = -1.5$
Ответ: -1,5

г) $3 + 2x(3x - 4) = 4x(2x + 5) - 2x(x - 1)$
Раскроем скобки:
$3 + 6x^2 - 8x = 8x^2 + 20x - 2x^2 + 2x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$3 + 6x^2 - 8x = 6x^2 + 22x$
Вычтем $6x^2$ из обеих частей:
$3 - 8x = 22x$
Перенесем слагаемое с $x$ в правую часть:
$3 = 22x + 8x$
$3 = 30x$
$x = \frac{3}{30}$
$x = \frac{1}{10}$
$x = 0.1$
Ответ: 0,1

д) $x(x + 1)(x - 10) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Начнем с левой части:
$x(x^2 - 10x + x - 10) = x(x^2 - 9x - 10) = x^3 - 9x^2 - 10x$
Теперь правая часть:
$(x^2 - 3x - x + 3)(x - 5) = (x^2 - 4x + 3)(x - 5)$
$= x^3 - 5x^2 - 4x^2 + 20x + 3x - 15 = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$
Приравняем левую и правую части:
$x^3 - 9x^2 - 10x = x^3 - 9x^2 + 23x - 15$
Сократим одинаковые слагаемые $x^3$ и $-9x^2$ в обеих частях:
$-10x = 23x - 15$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$15 = 23x + 10x$
$15 = 33x$
$x = \frac{15}{33}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{5}{11}$
Ответ: $\frac{5}{11}$

е) $(x - 1)(x - 4)(x + 7) = x(x + 1)^2$
Раскроем скобки в обеих частях. Левая часть:
$(x^2 - 4x - x + 4)(x + 7) = (x^2 - 5x + 4)(x + 7)$
$= x^3 + 7x^2 - 5x^2 - 35x + 4x + 28 = x^3 + 2x^2 - 31x + 28$
Правая часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$x(x + 1)^2 = x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x$
Приравняем левую и правую части:
$x^3 + 2x^2 - 31x + 28 = x^3 + 2x^2 + x$
Сократим одинаковые слагаемые $x^3$ и $2x^2$ в обеих частях:
$-31x + 28 = x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:
$28 = x + 31x$
$28 = 32x$
$x = \frac{28}{32}$
Сократим дробь на 4:
$x = \frac{7}{8}$
Ответ: $\frac{7}{8}$