Номер 6.108, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 6. Многочлены. 6.5. Умножение одночлена на многочлен. Упражнения - номер 6.108, страница 165.

Условие.

6.108 Докажите, что если $a^2 = b^2 + c^2$, то $(bc - a)a - (ac - b)b - (ab - c)c = -abc.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть.

Начнем с раскрытия скобок в выражении $(bc - a)a - (ac - b)b - (ab - c)c$:

$(bc - a)a - (ac - b)b - (ab - c)c = abc - a^2 - (abc - b^2) - (abc - c^2)$

$ = abc - a^2 - abc + b^2 - abc + c^2$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(abc - abc - abc) - a^2 + b^2 + c^2 = -abc - a^2 + b^2 + c^2$

Сгруппируем члены с квадратами, вынеся знак минус за скобку:

$-abc - (a^2 - b^2 - c^2)$

По условию задачи нам дано, что $a^2 = b^2 + c^2$.

Из этого равенства следует, что выражение $a^2 - b^2 - c^2$ равно нулю:

$a^2 - b^2 - c^2 = 0$

Подставим это значение в преобразованную левую часть:

$-abc - (0) = -abc$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна $-abc$, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.