Номер 6.103, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.103 Упростите выражение:

а) $(m(3m - 2n) - m(3n - 2m))n$;

б) $b(a(a - b) - b(a + b)) - a(b(a - b) - a(a + b)).$

а) Для упрощения выражения $(m(3m - 2n) - m(3n - 2m))n$ сначала выполним действия в скобках. Раскроем внутренние скобки, умножая одночлены на многочлены:

$m(3m - 2n) = m \cdot 3m - m \cdot 2n = 3m^2 - 2mn$

$m(3n - 2m) = m \cdot 3n - m \cdot 2m = 3mn - 2m^2$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

$( (3m^2 - 2mn) - (3mn - 2m^2) )n$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед вторым выражением:

$(3m^2 - 2mn - 3mn + 2m^2)n$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$((3m^2 + 2m^2) + (-2mn - 3mn))n = (5m^2 - 5mn)n$

Наконец, умножим полученный многочлен на $n$:

$(5m^2 - 5mn) \cdot n = 5m^2 \cdot n - 5mn \cdot n = 5m^2n - 5mn^2$

Ответ: $5m^2n - 5mn^2$

б) Для упрощения выражения $b(a(a - b) - b(a + b)) - a(b(a - b) - a(a + b))$ раскроем внешние скобки, умножив $b$ и $-a$ на содержимое соответствующих скобок:

$b \cdot a(a - b) - b \cdot b(a + b) - a \cdot b(a - b) - a \cdot (-a(a + b))$

$ab(a - b) - b^2(a + b) - ab(a - b) + a^2(a + b)$

Видим, что выражения $ab(a - b)$ и $-ab(a - b)$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулю. Они взаимно уничтожаются:

$\require{cancel} \cancel{ab(a - b)} - b^2(a + b) - \cancel{ab(a - b)} + a^2(a + b) = a^2(a + b) - b^2(a + b)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a^2 - b^2)(a + b)$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(a - b)(a + b)(a + b) = (a - b)(a + b)^2$

Можно оставить ответ в таком виде или раскрыть скобки для получения многочлена стандартного вида. Раскроем скобки:

$(a - b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) - b(a^2 + 2ab + b^2)$

$= a^3 + 2a^2b + ab^2 - a^2b - 2ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b - a^2b) + (ab^2 - 2ab^2) - b^3 = a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$

Ответ: $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$