Номер 6.117, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 6. Многочлены. 6.6. Умножение многочлена на многочлен. Упражнения - номер 6.117, страница 168.

Условие.

6.117 МОДЕЛИРУЕМ

С помощью рисунка 6.4 проиллюстрируйте равенство $(a + b + c)(d + e) = ad + bd + cd + ae + be + ce$. Докажите это равенство с помощью преобразований.

Рис. 6.4

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Иллюстрация равенства с помощью рисунка 6.4

Рассмотрим большой прямоугольник, изображенный на рисунке. Длина его горизонтальной стороны складывается из длин отрезков $a$, $b$ и $c$, и равна $(a + b + c)$. Длина его вертикальной стороны складывается из длин отрезков $d$ и $e$, и равна $(d + e)$.

Площадь всего прямоугольника можно найти, умножив длину его сторон. Таким образом, площадь $S$ равна: $S = (a + b + c)(d + e)$.

С другой стороны, этот большой прямоугольник состоит из шести меньших прямоугольников (обозначенных I, II, III, IV, V, VI). Его общая площадь равна сумме площадей этих шести частей. Найдем площадь каждой части:

Площадь прямоугольника I: $S_I = a \cdot d = ad$.
Площадь прямоугольника II: $S_{II} = b \cdot d = bd$.
Площадь прямоугольника III: $S_{III} = c \cdot d = cd$.
Площадь прямоугольника IV: $S_{IV} = a \cdot e = ae$.
Площадь прямоугольника V: $S_V = b \cdot e = be$.
Площадь прямоугольника VI: $S_{VI} = c \cdot e = ce$.

Сложив площади всех шести частей, получим общую площадь: $S = S_I + S_{II} + S_{III} + S_{IV} + S_V + S_{VI} = ad + bd + cd + ae + be + ce$.

Приравнивая два выражения для общей площади, мы получаем требуемое равенство: $(a + b + c)(d + e) = ad + bd + cd + ae + be + ce$.

Ответ: Равенство иллюстрируется тем, что площадь большого прямоугольника со сторонами $(a+b+c)$ и $(d+e)$ равна сумме площадей шести меньших прямоугольников, из которых он состоит: $ad + bd + cd + ae + be + ce$.

Доказательство равенства с помощью преобразований

Чтобы доказать это равенство алгебраически, мы раскроем скобки в левой части выражения, используя распределительный закон умножения. Правило умножения многочлена на многочлен гласит, что нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Рассмотрим левую часть равенства: $(a + b + c)(d + e)$.

Умножим многочлен $(a + b + c)$ на каждый член двучлена $(d + e)$: $(a + b + c)(d + e) = (a + b + c) \cdot d + (a + b + c) \cdot e$.

Теперь применим распределительный закон еще раз для каждого из слагаемых: $(a \cdot d + b \cdot d + c \cdot d) + (a \cdot e + b \cdot e + c \cdot e)$.

Раскрывая скобки, получаем: $ad + bd + cd + ae + be + ce$.

Таким образом, левая часть равенства после преобразований стала идентична правой части, что и доказывает равенство.

Ответ: $(a + b + c)(d + e) = (a+b+c)d + (a+b+c)e = ad + bd + cd + ae + be + ce$.